Équation linéaire

Une équation linéaire est une équation où l’inconnue $ \large x $ n’apparaît qu’à la première puissance, c’est-à-dire $ \large x^1 $. Cela signifie qu’il ne doit pas y avoir $ \large x^2 $, $ \large x^3 $ ou des puissances plus élevées de $ \large x $, et $ \large x $ ne doit pas non plus apparaître au dénominateur.

Une équation linéaire peut toujours s’écrire ou se réécrire sous la forme :

$$ \large ax + b = 0 $$

Lorsque l’on voit $ \large ax $, cela signifie en réalité $ \large a \cdot x $.

$$ \large ax = a \cdot x $$

Ton équation ne se présentera pas toujours exactement de cette manière. Elle peut, par exemple, ressembler à ceci :

$$ \large 8 + 2x = 16 $$

Ou bien :

$$ \large 2(x + 4) = 10 $$

Ce sont toutes deux des équations linéaires, car elles peuvent être réécrites sous la forme $ \large ax + b = 0 $.

Exemple de résolution

Si l’on prend l’équation :

$$ \large 2(x + 10) = 4x $$

On commence par multiplier dans la parenthèse :

$$ \large 2 \cdot x + 2 \cdot 10 = 4 \cdot x \Leftrightarrow $$

$$ \large 2x + 20 = 4x $$

Puis on isole $ \large x $ :

$$ \large 2x-2x + 20 = 4x-2x \Leftrightarrow $$

$$ \large 20 = 2x $$

On divise les deux côtés par $ \large 2 $ :

$$ \large \frac{20}{2} = \frac{2x}{2} \Leftrightarrow $$

$$ \large 10 = x $$

Le résultat est $ \large x = 10 $.

Règles de calcul

Pour résoudre les équations linéaires, on peut utiliser ces règles :

On peut ajouter le même nombre des deux côtés du signe égal.
On peut soustraire le même nombre des deux côtés.
On peut multiplier les deux côtés par le même nombre.
On peut diviser les deux côtés par le même nombre (tant que ce n’est pas 0).

L’important est de toujours traiter les deux côtés de la même manière, afin que l’égalité soit préservée.

Qu’est-ce qui n’est pas une équation linéaire ?

Pour distinguer, il est utile de regarder des exemples qui ne sont pas des équations linéaires :

Ici, $ \large x^2 $ apparaît, c’est donc une équation quadratique :

$$ \large x^2 + 3x = 0 $$

Ici, $ \large x $ est au dénominateur, ce n’est donc pas une équation linéaire :

$$ \large \tfrac{1}{x} = 2 $$

Combien de solutions ?

Une équation linéaire a normalement une solution, mais il existe deux situations particulières :

Aucune solution :

$$ \large 2x + 3 = 2x + 5 $$

Ce qui se réduit à :

$$ \large 3 = 5 $$

Ce qui n’est jamais vrai.

Une infinité de solutions :

$$ \large 2x + 3 = 2x + 3 $$

Ce qui se réduit à :

$$ \large 3 = 3 $$

Ce qui est toujours vrai, quel que soit $ \large x $.

Résumé

Une équation linéaire est une équation où $ \large x $ n’apparaît qu’à la première puissance. Elles peuvent toujours être réécrites sous la forme $ \large ax + b = 0 $. On les résout pas à pas en isolant $ \large x $ grâce aux règles de calcul. Normalement, il y a une solution, mais il peut aussi n’y en avoir aucune ou une infinité.