Une équation cubique a la forme générale :

 

$$ \large ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $$

$$ \large a \neq 0 $$

 

Ici, \( \large a, b, c, d \) sont des constantes, et \( \large x \) est l’inconnue. Comme la puissance la plus élevée est trois, on l’appelle une équation cubique.

 

Comment résoudre une équation cubique ?

Il n’existe pas de formule simple de résolution comme pour les équations quadratiques. On utilise différentes méthodes selon la forme de l’équation.

 

 

1. Trouver une racine évidente

Parfois, on peut deviner une solution en essayant des nombres simples, par exemple \( \large x = -2, -1, 0, 1, 2 \). Si cela donne 0, on a trouvé une racine.

 

Exemple :

 

$$ \large x^3 - x = 0 $$

 

Ici, on peut mettre \( \large x \) en facteur :

 

$$ \large x(x^2 - 1) = 0 $$

 

Cela donne trois solutions :

 

$$ \large x = 0 $$

$$ \large x = 1 $$

$$ \large x = -1 $$

 

 

2. Division de polynômes

Si l’on trouve une racine, on peut utiliser la division de polynômes pour réduire l’équation cubique à une quadratique. On peut ensuite résoudre la quadratique avec le discriminant et la formule quadratique.

 

Exemple :

 

$$ \large x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 $$

 

On suppose \( \large x = 1 \) et on substitue :

 

$$ \large 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 6 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large 1 - 6 + 11 - 6 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large 0 $$

 

Ainsi, \( \large x = 1 \) est une racine. Nous divisons le polynôme par \( \large (x-1) \) :

 

$$ \large x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \quad : \quad (x - 1) \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large x^2 - 5x + 6 $$

 

Nous avons maintenant une équation quadratique :

 

$$ \large x^2 - 5x + 6 = 0 $$

 

Le discriminant est :

 

$$ \large D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large D = 25 - 24 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large D = 1 $$

 

Les solutions sont :

 

$$ \large x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large x = \frac{5 \pm 1}{2} $$

 

Ainsi :

$$ \large x = 2 $$

$$ \large x = 3 $$

 

Avec \( \large x = 1 \), nous avons trois solutions.

 

 

3. Méthode graphique

On peut toujours tracer la courbe de \( \large f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) et lire où elle coupe l’axe des x. Cela correspond à trouver les racines.

 

Une courbe cubique peut avoir une ou trois racines réelles. Elle en a toujours au moins une, car elle tend vers \( -\infty \) d’un côté et vers \( +\infty \) de l’autre.

 

 

Méthode de Cardano

Il existe en fait une formule générale pour les équations cubiques. Elle a été découverte au XVIe siècle par les Italiens Tartaglia et Cardano.

 

L’idée est d’abord d’éliminer le terme \( \large x^2 \). Cela se fait par une substitution :

 

$$ \large x = y - \frac{b}{3a} $$

 

On obtient ensuite une équation cubique réduite de la forme :

 

$$ \large y^3 + py + q = 0 $$

 

La formule de Cardano en pratique

Considérons l’équation :

 

$$ \large x^3 - 6x - 9 = 0 $$

 

Elle est déjà sous forme réduite, donc nous posons \( \large p = -6 \), \( \large q = -9 \).

 

Discriminant :

 

$$ \large \Delta = \Bigl(\frac{q}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{p}{3}\Bigr)^3 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large \Delta = \Bigl(-\frac{9}{2}\Bigr)^2 + (-2)^3 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large \Delta = \frac{81}{4} - 8 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large \Delta = \frac{49}{4} $$

 

\( \large \Delta > 0 \), donc il y a une racine réelle.

 

Formule de Cardano :

 

$$ \large y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}} \;+\; \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta}} $$

 

Substituons \( \large q = -9 \), \( \large \sqrt{\Delta} = \frac{7}{2} \) :

 

$$ \large y = \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{7}{2}} + \sqrt[3]{\frac{9}{2} - \frac{7}{2}} \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large y = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{1} \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large y = 2 + 1 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large y = 3 $$

 

Donc \( \large x = 3 \) est une racine réelle.

 

Les autres racines :

 

$$ \large x^3 - 6x - 9 = (x-3)(x^2 + 3x + 3) $$

 

Le facteur quadratique donne le discriminant :

 

$$ \large D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large D = 9 - 12 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large D = -3 $$

 

Donc les deux autres racines sont complexes :

 

$$ \large x = \frac{-3 \pm i\sqrt{3}}{2} $$

 

Au total, les solutions sont :

 

$$ \large x = 3 \quad \text{(réelle)} $$

$$ \large x = \frac{-3 \pm i\sqrt{3}}{2} \quad \text{(non réelles)} $$

 

Remarque : S’il y a trois solutions réelles, la formule de Cardano reste valable, mais le calcul passe par les nombres complexes même si le résultat final est réel. On appelle cela casus irreducibilis.

 

Casus irreducibilis – trois racines réelles

Lorsque \( \large \Delta < 0 \), il y a trois racines réelles. Dans ce cas, on peut utiliser une méthode trigonométrique avec le cosinus.

 

Exemple :

 

$$ \large x^3 - 3x + 1 = 0 $$

 

Ici \( \large p = -3 \), \( \large q = 1 \).

 

On pose :

 

$$ \large x = 2\sqrt{\frac{-p}{3}} \cos(\theta) $$

 

et on détermine l’angle à partir de :

 

$$ \large \cos(3\theta) = \frac{-q}{2} \cdot \sqrt{\frac{-27}{p^3}} $$

 

Substituons \( \large p=-3 \), \( \large q=1 \) :

 

$$ \large \cos(3\theta) = \frac{-1}{2} \cdot \sqrt{\frac{-27}{(-3)^3}} \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large \cos(3\theta = \frac{-1}{2} \cdot \sqrt{1} \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large \cos(3\theta = -\frac{1}{2} $$

 

Ainsi :

 

$$ \large 3\theta = 120^\circ, \; 240^\circ, \; 480^\circ $$

 

Donc :

 

$$ \large \theta = 40^\circ, \; 80^\circ, \; 160^\circ $$

 

On insère maintenant dans :

 

$$ \large x = 2\sqrt{\frac{-p}{3}} \cos(\theta) $$

 

Comme \( \large p=-3 \), on obtient \( \large 2\sqrt{1} = 2 \), donc :

 

$$ \large x_1 = 2\cos(40^\circ) \approx 1,53 $$

$$ \large x_2 = 2\cos(80^\circ) \approx 0,35 $$

$$ \large x_3 = 2\cos(160^\circ) \approx -1,88 $$

 

On voit ici clairement trois solutions réelles sans passer par les nombres complexes.

 

Résumé

• Une équation cubique a la forme \( \large ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \).
• On peut trouver des solutions en devinant une racine, en factorisant ou en utilisant la division de polynômes.
• Graphiquement, on peut toujours voir qu’il y a au moins une racine réelle.
• La formule de Cardano fournit une méthode générale, mais elle est technique et rarement utilisée en pratique.
• Si \( \large \Delta > 0 \) : une racine réelle. Si \( \large \Delta = 0 \) : plusieurs racines coïncident. Si \( \large \Delta < 0 \) : trois racines réelles (casus irreducibilis).
• Dans le casus irreducibilis, on peut utiliser une formule trigonométrique avec le cosinus pour trouver les trois racines.