Regla de división
La regla de división es una de las técnicas de conteo fundamentales. Se usa cuando hemos contado demasiadas combinaciones, porque la misma solución puede aparecer varias veces en el conteo.
La regla se basa en que si cada combinación única se cuenta el mismo número de veces, podemos encontrar el número correcto dividiendo entre este número.
Ejemplo 1: Asientos
6 personas deben sentarse alrededor de una mesa redonda. Si contamos las permutaciones directamente, obtenemos:
$$ \large 6! = 720 $$
Pero alrededor de una mesa, las posiciones son iguales aunque todos se muevan un asiento a la derecha. Cada disposición única se cuenta entonces 6 veces. El número correcto es:
$$ \large \frac{6!}{6} = 120 $$
Ejemplo 2: Colores en una bandera
Queremos hacer una bandera con tres franjas, usando los colores rojo, blanco y azul. Si contamos todas las permutaciones, obtenemos:
$$ \large 3! = 6 $$
Pero si dos de las franjas tienen el mismo color, obtenemos repeticiones. Por ejemplo: rojo, rojo, azul. Aquí cada combinación única se cuenta varias veces. Corregimos dividiendo entre el número de repeticiones.
Fórmula
En general se cumple:
$$ \large \text{Número de combinaciones únicas} = \frac{\text{número de combinaciones contadas}}{\text{número de repeticiones por combinación}} $$
Especialmente para permutaciones con repeticiones:
$$ \large \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!} $$
donde \( n \) es el número total de elementos, y \( n_1, n_2, \ldots, n_k \) son las cantidades de elementos idénticos.
¿Cuándo se puede usar la Regla de división?
- Cuando la misma combinación aparece varias veces en un conteo.
- Cuando las posiciones o elecciones se consideran iguales en ciertas situaciones (simetría o repeticiones).
La Regla de división es por tanto una herramienta para corregir un exceso de conteo.
Resumen
La Regla de división se usa cuando contamos demasiadas combinaciones porque la misma solución se cuenta varias veces. Encontramos el número correcto dividiendo entre el número de repeticiones.
La regla juega un papel importante en permutaciones con repeticiones y en situaciones con simetría.