Principio de inclusión–exclusión
El principio de inclusión–exclusión es una técnica de conteo que amplía el método de adición. Se utiliza cuando dos o más conjuntos se superponen y necesitamos evitar contar los mismos elementos más de una vez.
La idea es que primero sumamos los conjuntos y luego restamos los elementos que se superponen. Si hay más conjuntos, puede ser necesario sumar y restar varias veces.
Ejemplo 1: Libros
Una librería tiene:
- 20 libros de matemáticas
- 15 libros de física
- 5 libros que cuentan como ambos
Si solo sumamos:
$$ \large 20 + 15 = 35 $$
obtenemos demasiado, porque los 5 libros que se superponen se cuentan dos veces. El número correcto es:
$$ \large 20 + 15 - 5 = 30 $$
Ejemplo 2: Estudiantes
Hay 40 estudiantes que cursan matemáticas, 30 que cursan física y 10 que cursan ambas asignaturas. ¿Cuántos estudiantes únicos hay?
Aquí usamos la fórmula:
$$ \large |M \cup F| = |M| + |F| - |M \cap F| $$
En números:
$$ \large 40 + 30 - 10 = 60 $$
Fórmula
Para dos conjuntos:
$$ \large |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| $$
Para tres conjuntos:
$$ \large |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| $$
En general, alternamos entre sumar y restar, según cuántos conjuntos se superpongan.
¿Cuándo se puede usar el principio de inclusión–exclusión?
- Cuando dos o más conjuntos se superponen.
- Cuando se quiere encontrar el número de elementos únicos sin doble conteo.
- Cuando los problemas no se pueden resolver solo con el método de adición.
Resumen
El principio de inclusión–exclusión se usa para corregir la superposición entre conjuntos. Primero sumamos y luego restamos los elementos que se superponen. Con más conjuntos, alternamos entre más y menos dependiendo de cuántos conjuntos se superpongan.
El principio es una herramienta importante en combinatoria y probabilidad, porque asegura que contemos cada posibilidad única exactamente una vez.