Ecuación lineal

Una ecuación lineal es una ecuación donde la incógnita $ \large x $ solo aparece en la primera potencia, es decir $ \large x^1 $. Esto significa que no debe haber $ \large x^2 $, $ \large x^3 $ ni potencias más altas de $ \large x $, y $ \large x $ tampoco debe aparecer en un denominador.

Una ecuación lineal siempre se puede escribir o reescribir en esta forma:

$$ \large ax + b = 0 $$

Cuando ves $ \large ax $, en realidad significa $ \large a \cdot x $.

$$ \large ax = a \cdot x $$

No siempre recibirás la ecuación exactamente en esta forma. Podría verse así:

$$ \large 8 + 2x = 16 $$

O así:

$$ \large 2(x + 4) = 10 $$

Ambas son ecuaciones lineales, porque se pueden reescribir en la forma $ \large ax + b = 0 $.

Ejemplo de solución

Si tomamos la ecuación:

$$ \large 2(x + 10) = 4x $$

Primero multiplicamos dentro del paréntesis:

$$ \large 2 \cdot x + 2 \cdot 10 = 4 \cdot x \Leftrightarrow $$

$$ \large 2x + 20 = 4x $$

Luego aislamos $ \large x $:

$$ \large 2x-2x + 20 = 4x-2x \Leftrightarrow $$

$$ \large 20 = 2x $$

Dividimos ambos lados por $ \large 2 $:

$$ \large \frac{20}{2} = \frac{2x}{2} \Leftrightarrow $$

$$ \large 10 = x $$

El resultado es $ \large x = 10 $.

Reglas de cálculo

Al resolver ecuaciones lineales, puedes usar estas reglas:

Puedes sumar el mismo número a ambos lados del signo igual.
Puedes restar el mismo número de ambos lados.
Puedes multiplicar ambos lados por el mismo número.
Puedes dividir ambos lados por el mismo número (siempre que no sea 0).

Lo importante es que siempre trates ambos lados de la misma manera, para que la igualdad se mantenga.

¿Qué no es una ecuación lineal?

Para distinguir, es útil mirar ejemplos que no son ecuaciones lineales:

Aquí aparece $ \large x^2 $, por lo que es una ecuación cuadrática:

$$ \large x^2 + 3x = 0 $$

Aquí $ \large x $ está en el denominador, por lo que no es una ecuación lineal:

$$ \large \tfrac{1}{x} = 2 $$

¿Cuántas soluciones?

Una ecuación lineal normalmente tiene una solución, pero hay dos situaciones especiales:

Ninguna solución:

$$ \large 2x + 3 = 2x + 5 $$

Se reduce a

$$ \large 3 = 5 $$

Lo cual nunca puede ser cierto.

Infinitas soluciones:

$$ \large 2x + 3 = 2x + 3 $$

Se reduce a

$$ \large 3 = 3 $$

Lo cual siempre es cierto, sin importar el valor de $ \large x $.

Resumen

Una ecuación lineal es una ecuación donde $ \large x $ solo aparece en la primera potencia. Siempre se pueden reescribir en la forma $ \large ax + b = 0 $. Se resuelven paso a paso aislando $ \large x $ usando las reglas de cálculo. Normalmente hay una solución, pero también puede no haber ninguna o haber infinitas.