Una ecuación cuadrática siempre puede escribirse o reescribirse en la forma:

 

$$ \large ax^2 + bx + c = 0 $$

 

Se llama ecuación cuadrática porque hay un término donde \( \large x \) está elevado al cuadrado: \( \large ax^2 \).

Si \( \large a = 0 \), no es una ecuación cuadrática, porque \( \large 0x^2 = 0 \), y entonces el término desaparece. Lo que queda es una ecuación lineal.

 

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

 

$$ \large 40 + 2x = 2x^2 $$

$$ \large x(x - 5) - 14 = 0 $$

 

Ambas son ecuaciones cuadráticas porque pueden reescribirse en la forma:

 

$$ \large ax^2 + bx + c = 0 $$

 

Donde \( \large a \neq 0 \).

 

El discriminante

Puede ser difícil aislar \( \large x \) en una ecuación cuadrática como se hace en una ecuación lineal.

Por eso usamos el discriminante, que nos ayuda tanto a encontrar las soluciones como a determinar cuántas soluciones hay.

El discriminante \( \large D \) se calcula con esta fórmula:

 

$$ \large D = b^2 - 4ac $$

 

• Si \( \large D > 0 \), hay dos soluciones.
• Si \( \large D = 0 \), hay una solución.
• Si \( \large D < 0 \), no hay soluciones reales.

 

Ejemplo: Calcular el discriminante

Queremos calcular las soluciones de la ecuación:

 

$$ \large x(x - 5) - 14 = 0 $$

 

Primero desarrollamos los paréntesis:

 

$$ \large x \cdot x - 5 \cdot x - 14 = 0 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large x^2 - 5x - 14 = 0 $$

 

Aquí vemos que se trata de una ecuación cuadrática, así que calculamos el discriminante:

 

$$ \large D = b^2 - 4ac \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large D = 25 - (-56) \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large D = 81 $$

 

El discriminante es positivo, por lo que hay dos soluciones.

 

La fórmula cuadrática

Cuando tenemos el discriminante, podemos encontrar las soluciones con esta fórmula:

 

$$ \large x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$

 

\( \large \pm \) es el signo más/menos. Cuando hay dos soluciones, calculamos dos veces: primero con más y luego con menos.

 

Solución 1 (más):

 

$$ \large x = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} $$

$$ \large x = \frac{5 + 9}{2} $$

$$ \large x = 7 $$

 

Solución 2 (menos):

 

$$ \large x = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} $$

$$ \large x = \frac{5 - 9}{2} $$

$$ \large x = -2 $$

 

Comprobación

Siempre es buena idea comprobar el resultado sustituyendo las soluciones en la ecuación original:

 

$$ \large x(x - 5) - 14 = 0 $$

 

Comprobación de la solución 1:

 

$$ \large x = 7 $$

$$ \large 7(7 - 5) - 14 = 0 \Leftrightarrow $$

$$ \large 49 - 35 - 14 = 0 $$

 

Es correcto.

 

Comprobación de la solución 2:

 

$$ \large x = -2 $$

$$ \large -2(-2 - 5) - 14 = 0 \Leftrightarrow $$

$$ \large 4 - (-10) - 14 = 0 $$

 

Es correcto.

 

Casos especiales

Algunas ecuaciones cuadráticas son más fáciles de resolver porque falta uno de los términos.

 

Cuando \( \large b = 0 \):

La ecuación toma la forma:

 

$$ \large ax^2 + c = 0 $$

 

Aislamos \( \large x^2 \):

 

$$ \large x^2 = -\frac{c}{a} $$

 

Aquí podemos tomar la raíz cuadrada y encontrar dos soluciones (si el lado derecho es positivo):

 

$$ \large x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} $$

 

Cuando \( \large c = 0 \):

La ecuación toma la forma:

 

$$ \large ax^2 + bx = 0 $$

 

Podemos factorizar \( \large x \):

 

$$ \large x(ax + b) = 0 $$

 

Esto da dos soluciones:

 

$$ \large x = 0 \quad \text{o} \quad x = -\frac{b}{a} $$

 

Este método se llama factorización y puede hacer el problema más rápido de resolver.

 

Resumen

• Una ecuación cuadrática tiene la forma \( \large ax^2 + bx + c = 0 \), donde \( \large a \neq 0 \).
• El discriminante \( \large D = b^2 - 4ac \) determina el número de soluciones.
• La fórmula cuadrática es \( \large x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
• Si \( \large D > 0 \), hay dos soluciones. Si \( \large D = 0 \), hay una solución. Si \( \large D < 0 \), no hay soluciones reales.
• Los resultados siempre pueden comprobarse sustituyéndolos en la ecuación original.