Ecuación cúbica
Una ecuación cúbica tiene la forma general:
$$ \large ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $$
$$ \large a \neq 0 $$
Aquí \( \large a, b, c, d \) son constantes, y \( \large x \) es la incógnita. Como la mayor potencia es tres, la llamamos una ecuación cúbica.
¿Cómo se resuelve una ecuación cúbica?
No existe una fórmula sencilla de solución como en las ecuaciones cuadráticas. En su lugar se usan diferentes métodos según la forma de la ecuación.
1. Encontrar una raíz evidente
A veces se puede adivinar una solución probando números simples, por ejemplo \( \large x = -2, -1, 0, 1, 2 \). Si da 0, hemos encontrado una raíz.
Ejemplo:
$$ \large x^3 - x = 0 $$
Aquí podemos factorizar \( \large x \):
$$ \large x(x^2 - 1) = 0 $$
Esto da tres soluciones:
$$ \large x = 0 $$
$$ \large x = 1 $$
$$ \large x = -1 $$
2. División de polinomios
Si se encuentra una raíz, se puede usar la división de polinomios para reducir la ecuación cúbica a una cuadrática. Luego se resuelve la cuadrática con el discriminante y la fórmula general.
Ejemplo:
$$ \large x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 $$
Probamos \( \large x = 1 \) y sustituimos:
$$ \large 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 6 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large 1 - 6 + 11 - 6 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large 0 $$
Por lo tanto, \( \large x = 1 \) es una raíz. Dividimos el polinomio entre \( \large (x-1) \):
$$ \large x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \quad : \quad (x - 1) \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large x^2 - 5x + 6 $$
Ahora tenemos una ecuación cuadrática:
$$ \large x^2 - 5x + 6 = 0 $$
El discriminante es:
$$ \large D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large D = 25 - 24 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large D = 1 $$
Las soluciones son:
$$ \large x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large x = \frac{5 \pm 1}{2} $$
Es decir:
$$ \large x = 2 $$
$$ \large x = 3 $$
Junto con \( \large x = 1 \), tenemos tres soluciones.
3. Método gráfico
Siempre se puede dibujar la gráfica de \( \large f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) y ver dónde corta el eje x. Esto corresponde a encontrar las raíces.
Una gráfica cúbica puede tener una o tres raíces reales. Siempre tiene al menos una, porque va a \( -\infty \) por un lado y a \( +\infty \) por el otro.
Método de Cardano
De hecho, existe una fórmula general para las ecuaciones cúbicas. Fue descubierta en el siglo XVI por los italianos Tartaglia y Cardano.
La idea es primero eliminar el término \( \large x^2 \). Esto se hace con una sustitución:
$$ \large x = y - \frac{b}{3a} $$
Después se obtiene una ecuación cúbica reducida de la forma:
$$ \large y^3 + py + q = 0 $$
La fórmula de Cardano en la práctica
Consideremos la ecuación:
$$ \large x^3 - 6x - 9 = 0 $$
Ya está en forma reducida, así que ponemos \( \large p = -6 \), \( \large q = -9 \).
Discriminante:
$$ \large \Delta = \Bigl(\frac{q}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{p}{3}\Bigr)^3 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large \Delta = \Bigl(-\frac{9}{2}\Bigr)^2 + (-2)^3 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large \Delta = \frac{81}{4} - 8 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large \Delta = \frac{49}{4} $$
\( \large \Delta > 0 \), por lo que hay una solución real.
Fórmula de Cardano:
$$ \large y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}} \;+\; \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta}} $$
Sustituimos \( \large q = -9 \), \( \large \sqrt{\Delta} = \frac{7}{2} \):
$$ \large y = \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{7}{2}} + \sqrt[3]{\frac{9}{2} - \frac{7}{2}} \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large y = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{1} \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large y = 2 + 1 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large y = 3 $$
Por lo tanto, \( \large x = 3 \) es una raíz real.
Las raíces restantes:
$$ \large x^3 - 6x - 9 = (x-3)(x^2 + 3x + 3) $$
El factor cuadrático da el discriminante:
$$ \large D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large D = 9 - 12 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large D = -3 $$
Por lo tanto, las dos raíces restantes son complejas:
$$ \large x = \frac{-3 \pm i\sqrt{3}}{2} $$
En total, las soluciones son:
$$ \large x = 3 \quad \text{(real)} $$
$$ \large x = \frac{-3 \pm i\sqrt{3}}{2} \quad \text{(no reales)} $$
Nota: Si hay tres soluciones reales, la fórmula de Cardano sigue siendo válida, pero el cálculo pasa por números complejos aunque el resultado final sea real. Esto se llama casus irreducibilis.
Casus irreducibilis – tres raíces reales
Cuando \( \large \Delta < 0 \), hay tres raíces reales. En este caso se puede usar un método trigonométrico con coseno.
Ejemplo:
$$ \large x^3 - 3x + 1 = 0 $$
Aquí \( \large p = -3 \), \( \large q = 1 \).
Ponemos:
$$ \large x = 2\sqrt{\frac{-p}{3}} \cos(\theta) $$
y determinamos el ángulo a partir de:
$$ \large \cos(3\theta) = \frac{-q}{2} \cdot \sqrt{\frac{-27}{p^3}} $$
Sustituimos \( \large p=-3 \), \( \large q=1 \):
$$ \large \cos(3\theta) = \frac{-1}{2} \cdot \sqrt{\frac{-27}{(-3)^3}} \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large \cos(3\theta) = \frac{-1}{2} \cdot \sqrt{1} \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large \cos(3\theta) = -\frac{1}{2} $$
Así que:
$$ \large 3\theta = 120^\circ, \; 240^\circ, \; 480^\circ $$
Por lo tanto:
$$ \large \theta = 40^\circ, \; 80^\circ, \; 160^\circ $$
Ahora sustituimos en:
$$ \large x = 2\sqrt{\frac{-p}{3}} \cos(\theta) $$
Como \( \large p=-3 \), obtenemos \( \large 2\sqrt{1} = 2 \), entonces:
$$ \large x_1 = 2\cos(40^\circ) \approx 1,53 $$
$$ \large x_2 = 2\cos(80^\circ) \approx 0,35 $$
$$ \large x_3 = 2\cos(160^\circ) \approx -1,88 $$
Aquí vemos claramente tres soluciones reales sin usar números complejos.
Resumen
- Una ecuación cúbica tiene la forma \( \large ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \).
- Se pueden encontrar soluciones adivinando una raíz, factorizando o usando división de polinomios.
- Gráficamente siempre se puede ver que hay al menos una raíz real.
- La fórmula de Cardano proporciona un método general, pero es técnica y rara vez se usa en la práctica.
- Si \( \large \Delta > 0 \): una raíz real. Si \( \large \Delta = 0 \): varias raíces coinciden. Si \( \large \Delta < 0 \): tres raíces reales (casus irreducibilis).
- En el casus irreducibilis se puede usar una fórmula trigonométrica con coseno para encontrar las tres raíces.