Desigualdades cuadráticas

Una inecuación cuadrática es una inecuación en la que la incógnita aparece elevada al cuadrado.

Se parece a una ecuación cuadrática, pero en lugar de un signo de igualdad usamos un signo de desigualdad.

Ejemplo

Veamos la siguiente inecuación:

$$ \large x^2 - 4 < 0 $$

Aquí preguntamos: ¿Para qué valores de $ \large x $ es $ \large x^2 - 4 $ menor que 0?

Método

Para resolver una inecuación cuadrática, primero encontramos las raíces de la ecuación cuadrática correspondiente:

$$ \large x^2 - 4 = 0 $$

Esto da:

$$ \large x = -2 \quad \text{o} \quad x = 2 $$

Las dos raíces dividen la recta numérica en tres intervalos:

Intervalo 1: $ \large x < -2 $
Intervalo 2: $ \large -2 < x < 2 $
Intervalo 3: $ \large x > 2 $

Determinar dónde se cumple la inecuación

Elegimos un valor de prueba en cada intervalo y verificamos si la inecuación es cierta:

Para $ \large x = -3 $:

$ \large (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \quad $ No menor que 0.

Para $ \large x = 0 $:

$ \large 0^2 - 4 = -4 \quad $ Menor que 0 = el intervalo vale.

Para $ \large x = 3 $:

$ \large 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \quad $ No menor que 0.

La solución es por lo tanto:

$$ \large -2 < x < 2 $$

Ejemplo con discriminante

Veamos la inecuación:

$$ \large x^2 + x - 6 < 0 $$

Primero encontramos el discriminante:

$$ \large D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 $$

Las raíces de la ecuación cuadrática correspondiente son:

$$ \large x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} $$

$$ \large x = -3 \quad \text{o} \quad x = 2 $$

Ahora examinamos los tres intervalos:

Para $ \large x = -4 $:

$ \large (-4)^2 + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 \quad $ No menor que 0.

Para $ \large x = 0 $:

$ \large 0^2 + 0 - 6 = -6 \quad $ Menor que 0 = el intervalo vale.

Para $ \large x = 3 $:

$ \large 3^2 + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 \quad $ No menor que 0.

La solución es por lo tanto:

$$ \large -3 < x < 2 $$

Ejemplo con intervalos separados

Veamos ahora la inecuación:

$$ \large x^2 - 4 > 0 $$

Las raíces son las mismas: $ \large x = -2 $ y $ \large x = 2 $. La recta numérica se divide en los mismos tres intervalos.

Probamos de nuevo:

Para $ \large x = -3 $:

$ \large (-3)^2 - 4 = 5 \quad $ Mayor que 0 = el intervalo vale.

Para $ \large x = 0 $:

$ \large 0^2 - 4 = -4 \quad $ No mayor que 0.

Para $ \large x = 3 $:

$ \large 3^2 - 4 = 5 \quad $ Mayor que 0 = el intervalo vale.

La solución es por lo tanto dos intervalos separados:

$$ \large x < -2 \quad \text{o} \quad x > 2 $$

Ejemplo sin solución

Algunas inecuaciones cuadráticas no tienen solución. Veamos:

$$ \large x^2 + 1 < 0 $$

La función $ \large x^2 + 1 $ siempre es al menos 1, porque $ \large x^2 \geq 0 $. Por lo tanto, nunca puede ser menor que 0.

Conclusión: No existen valores de $ \large x $ que satisfagan la inecuación.

Método general

Escribe la inecuación en la forma $ \large ax^2 + bx + c \; \lessgtr \; 0 $.
Encuentra el discriminante: $ \large D = b^2 - 4ac $.
Calcula las raíces de la ecuación cuadrática correspondiente.
Examina los intervalos que las raíces dividen en la recta numérica para determinar dónde la inecuación es cierta.
Si el discriminante es negativo, puede que no haya ninguna solución (como en el ejemplo sin solución).

Resumen

Las inecuaciones cuadráticas se parecen a las ecuaciones cuadráticas, pero la solución es un intervalo o varios intervalos.
Las raíces dividen la recta numérica en intervalos, que se prueban con valores de verificación.
La solución puede ser un intervalo, dos intervalos o ninguna.
Un discriminante negativo puede indicar que no existen soluciones.