Desigualdades con valor absoluto
Una desigualdad con valor absoluto trata de la distancia a 0. Recuerda que el valor absoluto de un número siempre es mayor o igual que 0.
La definición es:
$$ \large |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} $$
Ejemplo 1
Consideremos la desigualdad:
$$ \large |x| < 3 $$
Aquí preguntamos: ¿Cuándo está \( \large x \) a menos de 3 unidades de 0?
La respuesta es todos los números entre -3 y 3:
$$ \large -3 < x < 3 $$
Ejemplo 2
Ahora consideramos:
$$ \large |x+1| > 2 $$
Aquí significa que la distancia de \( \large x \) a -1 debe ser mayor que 2.
Esto da dos intervalos posibles:
$$ \large x+1 < -2 \quad \text{o} \quad x+1 > 2 $$
Es decir:
$$ \large x < -3 \quad \text{o} \quad x > 1 $$
Ejemplo 3
Consideremos la desigualdad:
$$ \large |2x-4| \leq 6 $$
Aquí la expresión debe estar como máximo a 6 unidades de 0. Se reescribe como:
$$ \large -6 \leq 2x-4 \leq 6 $$
Resolvemos paso a paso:
$$ \large -6+4 \leq 2x \leq 6+4 $$
$$ \large -2 \leq 2x \leq 10 $$
$$ \large -1 \leq x \leq 5 $$
Ejemplo 4 (sin solución)
A veces una desigualdad con valor absoluto no tiene solución. Por ejemplo:
$$ \large |x+2| < -1 $$
Pero un valor absoluto nunca puede ser negativo, así que esta desigualdad no tiene solución.
Método general
- Plantea la desigualdad con valor absoluto.
- Reescribe como una desigualdad compuesta (con "<" o "≤") o en dos desigualdades separadas (con ">" o "≥").
- Resuelve las desigualdades paso a paso.
- Verifica el resultado insertando valores de prueba.
- Recuerda: Un valor absoluto nunca puede ser negativo. Si la desigualdad lo exige, no hay solución.
Resumen
- Las desigualdades con valor absoluto tratan de la distancia a 0 o a otro punto.
- Con "<" o "≤" normalmente se obtiene un intervalo.
- Con ">" o "≥" normalmente se obtienen dos intervalos separados.
- A veces no hay solución.