Métodos numéricos

Los métodos numéricos se utilizan para encontrar soluciones aproximadas a problemas matemáticos cuando no existe una fórmula analítica sencilla. Desempeñan un papel importante en las matemáticas aplicadas, la física y la ingeniería, donde los cálculos exactos suelen ser imposibles o muy complicados.

 

Un método numérico consiste en reemplazar un proceso teóricamente infinito por una aproximación calculable que puede realizarse en un ordenador. Esto permite calcular valores de funciones, integrales, derivadas y ecuaciones diferenciales a partir de un conjunto de datos conocidos o de una fórmula dada.

 

 

Métodos de búsqueda de raíces

Los métodos de búsqueda de raíces se utilizan para encontrar los puntos donde una función cumple \( \large f(x) = 0 \). En la práctica, se aplican procedimientos iterativos que se aproximan paso a paso al valor de la raíz. Los más conocidos son el método de bisección, Newton-Raphson y el método de la secante.

 

 

Integración numérica

Cuando una integral no puede resolverse de forma simbólica, puede calcularse aproximando el área bajo la gráfica. Esto se hace dividiendo el intervalo en partes más pequeñas y sumando las áreas de figuras simples que aproximan localmente la curva.

 

$$ \large \int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} A_i $$

 

Los métodos más utilizados son la regla del trapecio y la regla de Simpson, que se diferencian en la forma en que aproximan la función entre los puntos dados.

 

 

Diferenciación numérica

Una función derivada también puede estimarse a partir de puntos discretos.

Aquí se utilizan cocientes diferenciales, donde se emplean dos o más puntos cercanos para calcular un valor aproximado de \( \large f'(x) \).

 

$$ \large f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

 

 

Ecuaciones diferenciales numéricas

Las ecuaciones diferenciales rara vez pueden resolverse exactamente, pero pueden aproximarse calculando los valores de la función paso a paso. Los métodos más simples, como el método de Euler y Runge–Kutta, calculan la función en un punto a partir de su valor y pendiente conocidos en un punto anterior.

 

$$ \large y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) $$

 

Estos métodos forman la base de muchas simulaciones y cálculos numéricos donde no existe una fórmula exacta.