Inklusions–eksklusionsprincippet

Inklusions–eksklusionsprincippet er en tælleteknik, der udvider additionsmetoden. Det bruges, når to eller flere mængder overlapper, og vi skal undgå at tælle de samme elementer flere gange.

 

Idéen er, at vi først lægger mængderne sammen, og derefter trækker vi de overlappende elementer fra. Hvis der er flere mængder, kan vi blive nødt til at lægge til og trække fra flere gange.

 

 

Eksempel 1: Bøger

En boghandel har:

 

• 20 matematikbøger
• 15 fysikbøger
• 5 bøger der tæller som begge dele

 

Hvis vi bare lægger sammen:

 

$$ \large 20 + 15 = 35 $$

 

får vi for meget, fordi de 5 overlappende bøger er talt dobbelt. Det rigtige antal er:

 

$$ \large 20 + 15 - 5 = 30 $$

 

 

Eksempel 2: Studerende

Der er 40 studerende der følger matematik, 30 der følger fysik, og 10 der følger begge fag. Hvor mange unikke studerende er der?

 

Her bruger vi formlen:

 

$$ \large |M \cup F| = |M| + |F| - |M \cap F| $$

 

I tal:

 

$$ \large 40 + 30 - 10 = 60 $$

 

 

Formlen

For to mængder:

 

$$ \large |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| $$

 

For tre mængder:

 

$$ \large |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| $$

 

Generelt skifter vi mellem at lægge til og trække fra, alt efter hvor mange mængder der overlapper.

 

 

Hvornår kan man bruge Inklusions–eksklusionsprincippet?

 

• Når to eller flere mængder overlapper.
• Når man vil finde antallet af unikke elementer uden dobbelt-tælling.
• Når problemer ikke kan løses med additionsmetoden alene.

 

 

Opsummering

Inklusions–eksklusionsprincippet bruges til at korrigere for overlap mellem mængder. Vi først lægger sammen og trækker derefter de overlappende elementer fra. Ved flere mængder skiftes der mellem plus og minus afhængigt af hvor mange der overlapper.

 

Princippet er et vigtigt redskab i kombinatorik og sandsynlighed, fordi det sikrer at vi tæller hver unik mulighed præcist én gang.