Divisionsreglen
Divisionsreglen er en af de grundlæggende tælleteknikker. Den bruges, når vi har talt for mange kombinationer, fordi den samme løsning kan optræde flere gange i optællingen.
Reglen bygger på, at hvis hver unik kombination bliver talt med det samme antal gange, kan vi finde det rigtige antal ved at dividere med dette antal.
Eksempel 1: Siddepladser
6 personer skal sidde rundt om et rundt bord. Hvis vi tæller permutationer direkte, får vi:
$$ \large 6! = 720 $$
Men rundt om et bord er placeringerne ens, selv hvis alle flyttes en stol til højre. Hver unik placering er derfor talt 6 gange. Det rigtige antal bliver:
$$ \large \frac{6!}{6} = 120 $$
Eksempel 2: Farver i flag
Vi skal lave et flag med tre striber, hvor der bruges farverne rød, hvid og blå. Hvis vi tæller alle permutationer, får vi:
$$ \large 3! = 6 $$
Men hvis to af striberne har samme farve, får vi gentagelser. For eksempel: rød, rød, blå. Her bliver hver unik kombination talt flere gange. Vi korrigerer ved at dividere med antallet af gentagelser.
Formlen
Generelt gælder:
$$ \large \text{Antal unikke kombinationer} = \frac{\text{antal tællede kombinationer}}{\text{antal gentagelser per kombination}} $$
Specielt for permutationer med gentagelser:
$$ \large \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!} $$
hvor \( n \) er det samlede antal elementer, og \( n_1, n_2, \ldots, n_k \) er antallet af identiske elementer.
Hvornår kan man bruge Divisionsreglen?
- Når den samme kombination optræder flere gange i en optælling.
- Når placeringer eller valg betragtes som ens i visse situationer (symmetri eller gentagelser).
Divisionsreglen er derfor et redskab til at korrigere en for stor optælling.
Opsummering
Divisionsreglen bruges, når vi tæller for mange kombinationer, fordi den samme løsning er talt flere gange. Vi finder det rigtige antal ved at dividere med antallet af gentagelser.
Reglen spiller en vigtig rolle i permutationer med gentagelser og i situationer med symmetri.