Rechenregeln für Ereignisse
Wenn man mit Wahrscheinlichkeiten arbeitet, gibt es einige grundlegende Rechenregeln für Ereignisse, die immer wieder verwendet werden.
Komplement
Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(P(A)\) ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt:
$$ P(\text{nicht A}) = 1 - P(A) $$
Beispiel:
Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine Sechs zu würfeln, ist \(P(A) = \tfrac{1}{6}\).
Die Wahrscheinlichkeit, keine Sechs zu würfeln, ist \(1 - \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{6}\).
Addition (die „oder“-Regel)
Wenn zwei Ereignisse nicht gleichzeitig eintreten können (sie sind disjunkt), gilt:
$$ P(A \text{ oder } B) = P(A) + P(B) $$
Beispiel:
Beim Münzwurf gilt \(P(\text{Kopf}) = \tfrac{1}{2}\) und \(P(\text{Zahl}) = \tfrac{1}{2}\).
Die Wahrscheinlichkeit, Kopf oder Zahl zu erhalten, ist \(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1\).
Generalisierte Addition
Wenn zwei Ereignisse gleichzeitig eintreten können, muss die Überschneidung einmal abgezogen werden:
$$ P(A \text{ oder } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ und } B) $$
Beispiel:
In einem Kartenspiel ist die Wahrscheinlichkeit, ein Herz zu ziehen, \(P(A)\), und die Wahrscheinlichkeit, eine Bildkarte zu ziehen, \(P(B)\).
Eine Herz-Bildkarte zählt in beiden Gruppen, also muss sie einmal abgezogen werden.
Multiplikation (die „und“-Regel)
Wenn zwei Ereignisse unabhängig sind, gilt:
$$ P(A \text{ und } B) = P(A) \cdot P(B) $$
Beispiel:
Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine Sechs zu würfeln, ist \(\tfrac{1}{6}\).
Wenn man zweimal würfelt, ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander eine Sechs zu würfeln:
$$ \large \tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36} $$
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Manchmal hängt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses davon ab, dass ein anderes bereits eingetreten ist. Das nennt man bedingte Wahrscheinlichkeit:
$$ P(A|B) = \frac{P(A \text{ und } B)}{P(B)} $$
Beispiel:
Zieht man zwei Karten nacheinander aus einem Kartenspiel ohne Zurücklegen:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste ein Ass ist, beträgt \(\tfrac{4}{52}\).
Wenn das passiert, bleiben 51 Karten, sodass die Wahrscheinlichkeit für ein weiteres Ass \(\tfrac{3}{51}\) beträgt.
Hier hängt die Wahrscheinlichkeit der zweiten Ziehung vom Ergebnis der ersten ab.
Zusammenfassung
| Regel | Formel | Bedingung |
|---|---|---|
| Komplement | $$ P(\text{nicht A}) = 1 - P(A) $$ | - |
| Addition | $$ P(A \text{ oder } B) = P(A) + P(B) $$ | Wenn A und B nicht gleichzeitig eintreten können |
| Generalisierte Addition | $$ P(A \text{ oder } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ und } B) $$ | Wenn A und B sich überschneiden können |
| Multiplikation | $$ P(A \text{ und } B) = P(A) \cdot P(B) $$ | Wenn A und B unabhängig sind |
| Bedingte Wahrscheinlichkeit | $$ P(A|B) = \tfrac{P(A \text{ und } B)}{P(B)} $$ | - |