Ergebnismenge und Ereignisse
Eine Ergebnismenge ist die Menge aller möglichen Ergebnisse in einem Versuch.
- Münzwurf: \(\Omega = \{\text{Kopf, Zahl}\}\)
- Würfel: \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\)
Ereignisse
Ein Ereignis ist eines oder mehrere Ergebnisse aus der Ergebnismenge.
- Eine 4 würfeln: \(\{4\}\)
- Eine gerade Zahl würfeln: \(\{2,4,6\}\)
Man spricht auch von besonderen Ereignissen:
- Unmögliches Ereignis: z. B. eine \(8\) mit einem Würfel würfeln.
- Sicheres Ereignis: z. B. eine Zahl kleiner als \(7\) mit einem Würfel würfeln.
Gleichverteilte Ergebnismenge
Von einer gleichverteilten Ergebnismenge spricht man, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
Dies könnte zum Beispiel ein fairer Würfel sein.
Hier ist die Ergebnismenge \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), und alle Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln, ist:
\(\large \tfrac{1}{6}\) oder eins von sechs
Wenn das Ereignis darin besteht, eine ungerade Zahl zu würfeln, sind die günstigen Ergebnisse \(\{1,3,5\}\).
Die Wahrscheinlichkeit ist:
$$ \large\tfrac{3}{6} \Leftrightarrow \tfrac{1}{2} \Leftrightarrow 0,5 \Leftrightarrow 50\% $$
Ungleichverteilte Ergebnismenge
In manchen Versuchen sind die Wahrscheinlichkeiten nicht gleich. Dann spricht man von einer ungleichverteilten Ergebnismenge.
Ein Beispiel ist Lotto, wo die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen viel kleiner ist als die Wahrscheinlichkeit zu verlieren.
Zwei Würfel
Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine Sechs zu würfeln, ist \(\tfrac{1}{6}\).
Aber was, wenn man zwei Würfel hat und die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs berechnen möchte?
Es gibt insgesamt \(6 \times 6 = 36\) mögliche Ergebnisse.
Die günstigen Ergebnisse kann man in einer Tabelle darstellen, wobei der erste Würfel die horizontale Achse und der zweite die vertikale ist:
Günstige Ergebnisse
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | X | |||||
| 2 | X | |||||
| 3 | X | |||||
| 4 | X | |||||
| 5 | X | |||||
| 6 | X | X | X | X | X | X |
Wie man sieht, sind Kreuze bei allen Ergebnissen gesetzt, die mindestens eine Sechs enthalten. Es gibt insgesamt 11.
Es könnte verlockend sein zu denken, es gäbe 12 günstige Ergebnisse (6 für jeden Würfel), aber das Ergebnis, bei dem beide Sechsen sind, zählt nur einmal. Das ist wichtig zu beachten!
Die Wahrscheinlichkeit ist also:
$$ \large \tfrac{11}{36} \approx 0,30 = 30\% $$
Wenn das Ereignis stattdessen wäre, zwei Sechsen zu würfeln, gibt es nur 1 günstiges Ergebnis:
$$ \large \tfrac{1}{36} \approx 0,0277 = 2,77\% $$
Zusammenfassung
- Ergebnismenge = alle möglichen Ergebnisse.
- Ereignis = eines oder mehrere Ergebnisse.
- Wahrscheinlichkeit = Anteil günstiger Ergebnisse im Verhältnis zur Gesamtzahl.
- Mit mehr Würfeln oder Versuchen wächst die Ergebnismenge schnell.