Multiplikationsmethode
Multiplikationsmethode (auch genannt die Produktregel) ist eine der grundlegendsten Zähltechniken.
Sie wird verwendet, wenn wir mehrere Entscheidungen gleichzeitig kombinieren müssen.
Die Methode basiert darauf, dass wenn wir mehrere unabhängige Entscheidungen haben, wir die Gesamtzahl der Kombinationen finden können, indem wir die Anzahl der Möglichkeiten jeder Entscheidung multiplizieren.
Beispiel 1: Kleiderwahl
Ein Schüler soll ein Outfit zusammenstellen:
- 3 Hemden
- 2 Hosen
- 4 Paar Schuhe
Da man Hemd und Hose und Schuhe auswählen muss, multiplizieren wir die Möglichkeiten:
$$ \large 3 \cdot 2 \cdot 4 = 24\ Kombinationen $$
Beispiel 2: Passwort
Ein Passwort besteht aus 3 Ziffern, wobei jede Ziffer von 0 bis 9 sein kann:
- 1. Ziffer: 10 Möglichkeiten
- 2. Ziffer: 10 Möglichkeiten
- 3. Ziffer: 10 Möglichkeiten
Insgesamt erhalten wir:
$$ \large 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\ Codes $$
Beispiel 3: Zwei Würfel
Wir werfen zwei normale Würfel. Jeder Würfel hat 6 mögliche Ergebnisse:
- Erster Würfel: 6 Möglichkeiten
- Zweiter Würfel: 6 Möglichkeiten
Insgesamt gibt es:
$$ \large 6 \cdot 6 = 36\ Ergebnisse $$
Formel
Allgemein gilt:
$$ \large \text{Anzahl der Kombinationen} = a \cdot b \cdot c \cdot \ldots \cdot n $$
Wann kann man die Multiplikationsmethode verwenden?
- Wenn man mehrere Entscheidungen gleichzeitig treffen muss.
- Wenn die einzelnen Entscheidungen voneinander unabhängig sind.
Ein einfaches Baumdiagramm kann die Methode veranschaulichen. Bei jeder Entscheidung verzweigen sich die Möglichkeiten, und die Gesamtzahl der Zweige entspricht dem Produkt der Möglichkeiten.
Wenn die Entscheidungen nicht unabhängig sind
Die Multiplikationsmethode funktioniert nur, wenn die Entscheidungen unabhängig sind. Wenn sie sich gegenseitig beeinflussen, können wir die Möglichkeiten nicht einfach multiplizieren.
Beispiel: Wenn man einen Code mit 3 Ziffern erstellen muss, die sich nicht wiederholen dürfen, beträgt die Anzahl der Möglichkeiten:
$$ \large 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 $$
Zusammenfassung
Die Multiplikationsmethode wird verwendet, wenn man mehrere Dinge gleichzeitig auswählen muss. Die Gesamtzahl der Kombinationen ergibt sich, indem man die Anzahl der Möglichkeiten jeder Entscheidung multipliziert.
Die Methode ist daher grundlegend in der Kombinatorik und spielt eine zentrale Rolle bei Themen wie Permutationen, Kombinationen und Wahrscheinlichkeitsrechnung.