Inklusions–Exklusionsprinzip

Das Inklusions–Exklusionsprinzip ist eine Zähltechnik, die die Additionsmethode erweitert. Es wird verwendet, wenn sich zwei oder mehr Mengen überschneiden und wir vermeiden müssen, dieselben Elemente mehrmals zu zählen.

 

Die Idee ist, dass wir die Mengen zuerst addieren und dann die überlappenden Elemente subtrahieren. Wenn es mehrere Mengen gibt, müssen wir möglicherweise mehrmals addieren und subtrahieren.

 

 

Beispiel 1: Bücher

Eine Buchhandlung hat:

 

• 20 Mathematikbücher
• 15 Physikbücher
• 5 Bücher, die zu beiden zählen

 

Wenn wir einfach addieren:

 

$$ \large 20 + 15 = 35 $$

 

bekommen wir zu viel, weil die 5 überlappenden Bücher doppelt gezählt werden. Die richtige Zahl ist:

 

$$ \large 20 + 15 - 5 = 30 $$

 

 

Beispiel 2: Studenten

Es gibt 40 Studenten, die Mathematik belegen, 30, die Physik belegen, und 10, die beide Fächer belegen. Wie viele eindeutige Studenten gibt es?

 

Hier verwenden wir die Formel:

 

$$ \large |M \cup F| = |M| + |F| - |M \cap F| $$

 

In Zahlen:

 

$$ \large 40 + 30 - 10 = 60 $$

 

 

Formel

Für zwei Mengen:

 

$$ \large |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| $$

 

Für drei Mengen:

 

$$ \large |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| $$

 

Allgemein wechseln wir zwischen Addition und Subtraktion, je nachdem, wie viele Mengen sich überschneiden.

 

 

Wann kann man das Inklusions–Exklusionsprinzip verwenden?

 

• Wenn sich zwei oder mehr Mengen überschneiden.
• Wenn man die Anzahl eindeutiger Elemente ohne Doppelzählung finden will.
• Wenn Probleme nicht allein mit der Additionsmethode gelöst werden können.

 

 

Zusammenfassung

Das Inklusions–Exklusionsprinzip wird verwendet, um für Überschneidungen zwischen Mengen zu korrigieren. Wir addieren zuerst und subtrahieren dann die überlappenden Elemente. Bei mehreren Mengen wechseln wir zwischen Plus und Minus, je nachdem, wie viele sich überschneiden.

 

Das Prinzip ist ein wichtiges Werkzeug in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung, weil es sicherstellt, dass jede eindeutige Möglichkeit genau einmal gezählt wird.