Divisionsregel
Die Divisionsregel ist eine der grundlegenden Zähltechniken. Sie wird verwendet, wenn wir zu viele Kombinationen gezählt haben, weil dieselbe Lösung mehrfach in der Zählung auftreten kann.
Die Regel basiert darauf, dass wenn jede eindeutige Kombination gleich oft gezählt wird, wir die richtige Anzahl finden können, indem wir durch diese Zahl teilen.
Beispiel 1: Sitzplätze
6 Personen sollen an einem runden Tisch sitzen. Wenn wir die Permutationen direkt zählen, erhalten wir:
$$ \large 6! = 720 $$
Aber an einem Tisch sind die Anordnungen gleich, auch wenn alle einen Platz nach rechts rutschen. Jede eindeutige Anordnung wird also 6 Mal gezählt. Die richtige Anzahl ist:
$$ \large \frac{6!}{6} = 120 $$
Beispiel 2: Farben in einer Flagge
Wir wollen eine Flagge mit drei Streifen herstellen, mit den Farben Rot, Weiß und Blau. Wenn wir alle Permutationen zählen, erhalten wir:
$$ \large 3! = 6 $$
Aber wenn zwei der Streifen dieselbe Farbe haben, entstehen Wiederholungen. Zum Beispiel: Rot, Rot, Blau. Hier wird jede eindeutige Kombination mehrfach gezählt. Wir korrigieren, indem wir durch die Anzahl der Wiederholungen teilen.
Formel
Allgemein gilt:
$$ \large \text{Anzahl eindeutiger Kombinationen} = \frac{\text{Anzahl gezählter Kombinationen}}{\text{Anzahl Wiederholungen pro Kombination}} $$
Speziell für Permutationen mit Wiederholungen:
$$ \large \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!} $$
wobei \( n \) die Gesamtzahl der Elemente ist und \( n_1, n_2, \ldots, n_k \) die Anzahlen identischer Elemente sind.
Wann kann man die Divisionsregel verwenden?
- Wenn dieselbe Kombination mehrfach in einer Zählung vorkommt.
- Wenn Anordnungen oder Entscheidungen in bestimmten Situationen als gleich betrachtet werden (Symmetrie oder Wiederholungen).
Die Divisionsregel ist daher ein Werkzeug, um eine Überzählung zu korrigieren.
Zusammenfassung
Die Divisionsregel wird verwendet, wenn wir zu viele Kombinationen gezählt haben, weil dieselbe Lösung mehrfach gezählt wurde. Wir finden die richtige Anzahl, indem wir durch die Anzahl der Wiederholungen teilen.
Die Regel spielt eine wichtige Rolle bei Permutationen mit Wiederholungen und bei Situationen mit Symmetrie.