Additionsmethode
Additionsmethode (auch genannt die Summenregel) ist eine der grundlegendsten Zähltechniken. Sie wird verwendet, wenn wir entweder das eine oder das andere wählen müssen, aber nicht beides gleichzeitig.
Die Methode basiert darauf, dass wenn wir zwei oder mehrere Möglichkeiten haben, die sich nicht überschneiden, wir die Gesamtzahl der Möglichkeiten finden können, indem wir sie zusammenaddieren.
Beispiel 1: Transport
Ein Schüler muss ein Transportmittel zur Schule wählen:
- Entweder: Fahrrad fahren (1 Möglichkeit)
- Oder: Den Bus nehmen (2 verschiedene Linien)
- Oder: Den Zug nehmen (1 Möglichkeit)
Da es sich um eine Wahl entweder Fahrrad oder Bus oder Zug handelt, müssen wir die Möglichkeiten zusammenzählen:
$$ \large 1 + 2 + 1 = 4\ Möglichkeiten $$
Beispiel 2: Buchhandlung
Eine Buchhandlung hat Bücher in drei Fächern:
- 12 Mathematikbücher
- 7 Physikbücher
- 5 Biologiebücher
Wenn du ein Buch auswählen möchtest, beträgt die Gesamtzahl der Möglichkeiten:
$$ \large 12 + 7 + 5 = 24 $$
Formel
Allgemein gilt:
$$ \large \text{Anzahl der Möglichkeiten} = a + b + c + \ldots + n $$
Wann kann man die Additionsmethode verwenden?
- Wenn es sich um gegenseitig ausschließende Wahlen handelt. Man kann jeweils nur eine Möglichkeit auswählen.
- Wenn sich keine der Möglichkeiten überschneidet. Andernfalls besteht die Gefahr des Doppeltzählens.
Ein einfaches Diagramm mit drei Zweigen (Fahrrad, Bus, Zug) kann die Methode veranschaulichen. Die Gesamtzahl der Zweige entspricht der Summe der Möglichkeiten.
Wenn sich Möglichkeiten überschneiden
Die Additionsmethode funktioniert nur, wenn die Möglichkeiten vollständig getrennt sind. Wenn es Überschneidungen gibt, können wir sie nicht einfach addieren, da wir die Überschneidungen doppelt zählen würden.
Beispiel: Eine Buchhandlung verkauft Mathematikbücher und Physikbücher. Es gibt 20 Mathematikbücher und 15 Physikbücher. Fünf der Bücher gehören zu beiden Kategorien. Wenn wir die Zahlen einfach addieren, würden wir erhalten:
$$ \large 20 + 15 = 35 $$
Aber die richtige Anzahl ist:
$$ \large 20 + 15 - 5 = 30 $$
Für diese Art von Problemen verwenden wir stattdessen das Inklusions–Exklusionsprinzip, das eine Erweiterung der Additionsmethode ist.
Zusammenfassung
Die Additionsmethode wird verwendet, wenn man vor einer Wahl steht, bei der man entweder die eine oder die andere Möglichkeit wählen kann. Sie gibt die Gesamtzahl der Möglichkeiten, indem man sie einfach addiert.
Die Methode ist daher grundlegend in vielen Problemen der Kombinatorik.
Wenn sich die Möglichkeiten überschneiden, müssen wir zum Inklusions–Exklusionsprinzip übergehen, das das Doppeltzählen korrigiert.