Eine Wahrheitstabelle ist ein systematisches Werkzeug, um zu zeigen, wie der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage von den Wahrheitswerten der einzelnen Aussagen abhängt. Die Tabelle ermöglicht es, alle möglichen Situationen durchzugehen und genau zu sehen, wann ein Ausdruck wahr oder falsch ist.

 

 

Anzahl der Zeilen

Wenn ein logischer Ausdruck \( \large n \) Aussagen enthält, muss man alle Kombinationen von wahr und falsch betrachten. Daher hat die Tabelle \( \large 2^n \) Zeilen.

 

Beispiele:

 

• Für eine Aussage, \( \large p \), hat die Tabelle \( \large 2^1 = 2 \) Zeilen.
• Für zwei Aussagen, \( \large p, q \), hat die Tabelle \( \large 2^2 = 4 \) Zeilen.
• Für drei Aussagen, \( \large p, q, r \), hat die Tabelle \( \large 2^3 = 8 \) Zeilen.

 

 

Beispiel: Zwei Aussagen

Wir können den Ausdruck \( \large (p \lor q) \land \lnot p \) untersuchen. Die Tabelle zeigt zuerst alle Kombinationen von \( \large p \) und \( \large q \) und dann das Ergebnis des gesamten Ausdrucks:

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & (p \lor q) \land \lnot p \\ \hline W & W & F \\ W & F & F \\ F & W & W \\ F & F & F \\ \hline \end{array} $$

 

 

Beispiel: Drei Aussagen

Wenn drei Aussagen enthalten sind, wächst die Tabelle schnell. Für den Ausdruck \( \large (p \lor q) \Rightarrow r \) müssen alle acht Kombinationen berücksichtigt werden:

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline p & q & r & (p \lor q) \Rightarrow r \\ \hline W & W & W & W \\ W & W & F & F \\ W & F & W & W \\ W & F & F & F \\ F & W & W & W \\ F & W & F & F \\ F & F & W & W \\ F & F & F & W \\ \hline \end{array} $$

 

 

Anwendungen

Wahrheitstabellen werden für mehrere Zwecke verwendet:

 

• Um logische Verknüpfungen präzise zu definieren.
• Um komplexe logische Ausdrücke zu analysieren.
• Um zu untersuchen, ob zwei Ausdrücke logisch äquivalent sind.
• In Informatik und Elektronik, z. B. zur Beschreibung von logischen Schaltungen und der Booleschen Algebra.

 

 

Zusammenfassung

Eine Wahrheitstabelle zeigt alle möglichen Kombinationen von Wahrheitswerten für die Aussagen, die in einem Ausdruck vorkommen. Sie ermöglicht es, die Regeln klar zu sehen, Ausdrücke zu überprüfen und logische Zusammenhänge zu beweisen. Wahrheitstabellen sind daher eines der grundlegendsten Werkzeuge der Logik.