Die Logik und die Aussagenlogik sind der Teil der Mathematik, der sich mit Aussagen, ihrem Wahrheitswert und den Regeln beschäftigt, nach denen sie kombiniert und manipuliert werden können. Sie bilden die Grundlage allen mathematischen Denkens und Beweisens.

Die Logik in der Mathematik unterscheidet sich vom alltäglichen Sprachgebrauch des Wortes Logik. In der Mathematik arbeiten wir mit genauen Regeln dafür, wann eine Aussage wahr oder falsch ist. Eine Aussage ist eine Behauptung, die entweder wahr oder falsch ist. Die gesamte Aussagenlogik baut auf diesem einfachen Prinzip auf.

 

 

Aussagenlogik als System

Wir können Aussagen mit Hilfe von logischen Verknüpfungen wie und, oder und nicht kombinieren.

 

$$ \large p \land q \quad\; (\text{und}) $$

$$ \large p \lor q \quad\; (\text{oder}) $$

$$ \large \lnot p \quad\; (\text{nicht}) $$

 

Wenn Aussagen kombiniert werden, können wir Regeln für den Wahrheitswert in allen möglichen Fällen aufstellen. Diese Regeln werden in Wahrheitstabellen gesammelt.

Hier ein Beispiel für eine Wahrheitstabelle der Konjunktion \( \large p \land q \):

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \land q \\ \hline W & W & W \\ W & F & F \\ F & W & F \\ F & F & F \\ \hline \end{array} $$

 

Wir können die Sprache auch mit Quantoren erweitern, um über alle Elemente einer Menge oder über die Existenz von mindestens einem Element zu sprechen. Der Allquantor drückt für alle aus, während der Existenzquantor es gibt ausdrückt:

 

$$ \large \forall x \in M : P(x) $$

$$ \large \exists x \in M : P(x) $$

 

 

Logische Gesetze

Aussagen können oft umgeschrieben werden, ohne ihren Wahrheitswert zu ändern. Dies geschieht mit Hilfe logischer Gesetze. Beispiele sind die de Morganschen Gesetze, die doppelte Verneinung und die Distributivität. Diese Regeln ermöglichen es, komplexe Aussagen zu vereinfachen und alternative Formulierungen zu finden.

 

 

Logik in der Mathematik

Die Logik wird direkt in mathematischen Beweisen verwendet. Ein einfaches Beispiel ist die Behauptung, dass eine ganze Zahl gerade ist, genau dann, wenn sie als zwei mal eine andere ganze Zahl geschrieben werden kann. Dies kann logisch ausgedrückt werden:

 

$$ \large n \text{ ist gerade } \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2 \cdot k $$

 

 

Struktur und Überblick

In weiterer Beschäftigung kann man Aussagen, logische Verknüpfungen, Wahrheitstabellen, Quantoren und logische Gesetze im Detail untersuchen.