Logische Gesetze sind Regeln, die zeigen, wie Aussagen umgeschrieben werden können, ohne ihren Wahrheitswert zu ändern. Sie dienen dazu, logische Ausdrücke zu vereinfachen und zu zeigen, dass zwei verschiedene Ausdrücke in Wirklichkeit dasselbe bedeuten. Logische Gesetze funktionieren wie Rechenregeln in der Logik, ähnlich wie wir Rechenregeln in der Arithmetik haben.

 

 

Symbole

In der Logik werden verschiedene Symbole verwendet, um Beziehungen zwischen Aussagen darzustellen:

 

• \( = \) bedeutet normale Gleichheit, wie in der Arithmetik: \( 2+2 = 4 \).
• \( \equiv \) bedeutet logische Äquivalenz: zwei Ausdrücke haben immer denselben Wahrheitswert.
• \( \Rightarrow \) bedeutet Implikation: wenn die eine Aussage wahr ist, muss auch die andere wahr sein.

 

 

$$ \large \begin{array}{|l|l|} \hline \text{Gesetz} & \text{Äquivalenz} \\ \hline \text{Identitätsgesetze} & p \land \text{wahr} \equiv p \\ & p \lor \text{falsch} \equiv p \\ \hline \text{Komplementgesetze} & p \lor \lnot p \equiv \text{wahr} \\ & p \land \lnot p \equiv \text{falsch} \\ \hline \text{De-Morgan-Gesetze (Aussagen)} & \lnot (p \land q) \equiv \lnot p \lor \lnot q \\ & \lnot (p \lor q) \equiv \lnot p \land \lnot q \\ \hline \text{De-Morgan-Gesetze (Quantoren)} & \lnot (\forall x : P(x)) \equiv \exists x : \lnot P(x) \\ & \lnot (\exists x : P(x)) \equiv \forall x : \lnot P(x) \\ \hline \text{Doppelte Negation} & \lnot (\lnot p) \equiv p \\ \hline \text{Distributivität} & p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r) \\ & p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r) \\ \hline \text{Kommutativität} & p \land q \equiv q \land p \\ & p \lor q \equiv q \lor p \\ \hline \text{Assoziativität} & (p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r) \\ & (p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r) \\ \hline \text{Idempotenz} & p \land p \equiv p \\ & p \lor p \equiv p \\ \hline \text{Absorption} & p \lor (p \land q) \equiv p \\ & p \land (p \lor q) \equiv p \\ \hline \end{array} $$

 

 

Identitätsgesetze

Sie zeigen, dass wahr und falsch als neutrale Elemente für und bzw. oder wirken:

 

$$ \large p \land \text{wahr} \equiv p \qquad p \lor \text{falsch} \equiv p $$

 

Beispiel:

"Es regnet, und es ist wahr" bedeutet einfach "es regnet".

 

 

Komplementgesetze

Eine Aussage kombiniert mit ihrer Negation ergibt immer entweder wahr oder falsch:

 

$$ \large p \lor \lnot p \equiv \text{wahr} \qquad p \land \lnot p \equiv \text{falsch} $$

 

Beispiel:

"Entweder es regnet, oder es regnet nicht" ist immer wahr.

 

 

De-Morgan-Gesetze

Die Negation verteilt sich über und und oder:

 

$$ \large \lnot (p \land q) \equiv (\lnot p) \lor (\lnot q) $$

$$ \large \lnot (p \lor q) \equiv (\lnot p) \land (\lnot q) $$

 

Beispiel:

"Es ist nicht der Fall, dass Montag ist und es regnet" bedeutet dasselbe wie "entweder ist es nicht Montag, oder es regnet nicht".

 

Die De-Morgan-Gesetze gelten auch für Quantoren:

 

$$ \large \lnot (\forall x : P(x)) \equiv \exists x : \lnot P(x) $$

$$ \large \lnot (\exists x : P(x)) \equiv \forall x : \lnot P(x) $$

 

 

Doppelte Negation

Eine Aussage zweimal zu verneinen ergibt wieder die Aussage selbst:

 

$$ \large \lnot (\lnot p) \equiv p $$

 

Beispiel:

"Es ist nicht der Fall, dass 7 nicht prim ist" bedeutet "7 ist prim".

 

 

Distributivität

Konjunktion und Disjunktion können über einander verteilt werden:

 

$$ \large p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r) $$

$$ \large p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r) $$

 

Beispiel:

"Ich kaufe Milch, und Brot oder Käse" entspricht "ich kaufe Milch und Brot, oder Milch und Käse".

 

 

Kommutativität

Die Reihenfolge der Aussagen ist bei und und oder egal:

 

$$ \large p \land q \equiv q \land p \qquad p \lor q \equiv q \lor p $$

 

Beispiel:

"Es regnet, und es weht" bedeutet dasselbe wie "es weht, und es regnet".

 

 

Assoziativität

Die Platzierung der Klammern ist egal, wenn mehrere Aussagen mit demselben Operator verbunden werden:

 

$$ \large (p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r) $$

$$ \large (p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r) $$

 

Beispiel:

"((es regnet und es weht) und es ist kalt)" ist dasselbe wie "(es regnet und (es weht und es ist kalt))".

 

 

Idempotenz

Eine Aussage mit und oder oder zu wiederholen fügt keinen neuen Inhalt hinzu:

 

$$ \large p \land p \equiv p \qquad p \lor p \equiv p $$

 

Beispiel:

"Es regnet und es regnet" bedeutet einfach "es regnet".

 

 

Absorption

Kombinationen von Aussagen lassen sich oft auf eine einzige reduzieren:

 

$$ \large p \lor (p \land q) \equiv p $$

$$ \large p \land (p \lor q) \equiv p $$

 

Beispiel:

"Es regnet, oder es regnet und es weht" bedeutet einfach "es regnet".

 

 

Zusammenfassung

Logische Gesetze ermöglichen es, logische Ausdrücke umzuschreiben und zu vereinfachen, ohne ihre Bedeutung zu ändern. Zusammen bilden sie ein Regelsystem, das den Rechenregeln der Algebra ähnelt. Sie werden sowohl verwendet, um Ausdrücke zu vereinfachen, logische Zusammenhänge zu beweisen, als auch in Anwendungen wie Informatik und Boolescher Algebra.