Logische Verknüpfungen
Logische Verknüpfungen werden verwendet, um Aussagen zu kombinieren und neue zu bilden. Sie beschreiben, wie der Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage von den einzelnen Aussagen abhängt. Die wichtigsten logischen Verknüpfungen sind Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation und Äquivalenz.
Negation
Die Negation einer Aussage drückt aus, dass das Gegenteil der Fall ist. Wenn \( \large p \) eine Aussage ist, wird die Negation als \( \large \lnot p \) geschrieben und "nicht p" gelesen.
Beispiele:
- Wenn \( \large p \) "2 ist eine gerade Zahl" ist, dann ist \( \large \lnot p \) die Aussage "2 ist keine gerade Zahl".
- Wenn \( \large p \) "Die Sonne scheint" ist, dann ist \( \large \lnot p \) die Aussage "Die Sonne scheint nicht".
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline p & \lnot p \\ \hline W & F \\ F & W \\ \hline \end{array} $$
Konjunktion (und)
Die Konjunktion zweier Aussagen ist wahr, wenn beide Aussagen wahr sind. Wenn \( \large p \) und \( \large q \) Aussagen sind, wird die Konjunktion als \( \large p \land q \) geschrieben.
Beispiele:
- Wenn \( \large p \) "2 ist eine gerade Zahl" und \( \large q \) "2 ist größer als 1" ist, dann ist \( \large p \land q \) wahr.
- Wenn \( \large p \) "5 ist eine Primzahl" und \( \large q \) "5 ist eine gerade Zahl" ist, dann ist \( \large p \land q \) falsch, weil nur die erste Aussage wahr ist.
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \land q \\ \hline W & W & W \\ W & F & F \\ F & W & F \\ F & F & F \\ \hline \end{array} $$
Disjunktion (oder)
Die Disjunktion zweier Aussagen ist wahr, wenn mindestens eine von ihnen wahr ist. Wenn \( \large p \) und \( \large q \) Aussagen sind, wird die Disjunktion als \( \large p \lor q \) geschrieben.
Hinweis: In der Mathematik bedeutet "oder" fast immer "inklusives Oder", das heißt, die Aussage ist auch dann wahr, wenn beide wahr sind.
Beispiele:
- Wenn \( \large p \) "2 ist eine gerade Zahl" und \( \large q \) "2 ist größer als 10" ist, dann ist \( \large p \lor q \) wahr, weil mindestens eine Aussage wahr ist.
- Wenn \( \large p \) "5 ist eine Primzahl" und \( \large q \) "5 ist eine gerade Zahl" ist, dann ist \( \large p \lor q \) wahr, weil \( \large p \) wahr ist.
- Nur wenn beide Aussagen falsch sind, ist die Disjunktion falsch.
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \lor q \\ \hline W & W & W \\ W & F & W \\ F & W & W \\ F & F & F \\ \hline \end{array} $$
In der Alltagssprache wird "oder" oft als exklusives Oder verwendet (entweder das eine oder das andere, aber nicht beide). In der Mathematik kann man dies als spezielle Operation schreiben: \( \large p \oplus q \). Diese ist genau dann wahr, wenn eine Aussage wahr ist, aber nicht beide.
Implikation (wenn … dann …)
Die Implikation drückt einen bedingten Zusammenhang aus. Wenn \( \large p \) und \( \large q \) Aussagen sind, wird sie als \( \large p \Rightarrow q \) geschrieben und als "wenn p, dann q" gelesen.
Die Implikation ist nur falsch, wenn die Voraussetzung \( \large p \) wahr und die Schlussfolgerung \( \large q \) falsch ist. In allen anderen Fällen gilt sie als wahr.
Beispiele:
- Wenn \( \large p \) "eine Zahl ist durch 4 teilbar" und \( \large q \) "die Zahl ist durch 2 teilbar" ist, dann ist \( \large p \Rightarrow q \) wahr, weil alle Zahlen, die durch 4 teilbar sind, auch durch 2 teilbar sind.
- Wenn \( \large p \) "7 ist eine gerade Zahl" und \( \large q \) "10 ist eine gerade Zahl" ist, dann ist \( \large p \Rightarrow q \) wahr, weil die Voraussetzung falsch ist – unabhängig von der Schlussfolgerung.
Dies mag in der Alltagssprache kontraintuitiv erscheinen, ist aber in der Mathematik praktisch: Eine Implikation mit falscher Voraussetzung gilt als wahr, weil die Aussage "wenn … dann …" nicht widerlegt wird.
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \Rightarrow q \\ \hline W & W & W \\ W & F & F \\ F & W & W \\ F & F & W \\ \hline \end{array} $$
Äquivalenz (genau dann, wenn)
Die Äquivalenz drückt aus, dass zwei Aussagen immer denselben Wahrheitswert haben. Wenn \( \large p \) und \( \large q \) Aussagen sind, wird sie als \( \large p \Leftrightarrow q \) geschrieben.
Beispiele:
- "Eine Zahl ist gerade genau dann, wenn sie sich als \( \large 2 \cdot k \) für eine ganze Zahl \( \large k \) schreiben lässt".
- "Ein Dreieck ist gleichseitig genau dann, wenn alle seine Seiten gleich lang sind".
Die Äquivalenz ist wahr, wenn beide Aussagen wahr oder beide falsch sind, und falsch, wenn sie unterschiedliche Wahrheitswerte haben.
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \Leftrightarrow q \\ \hline W & W & W \\ W & F & F \\ F & W & F \\ F & F & W \\ \hline \end{array} $$
Zusammenfassung
Die wichtigsten logischen Verknüpfungen sind:
- Negation: \( \lnot p \) — wahr, wenn \( p \) falsch ist
- Konjunktion: \( p \land q \) — wahr nur, wenn beide wahr sind
- Disjunktion: \( p \lor q \) — wahr, wenn mindestens eine wahr ist
- Implikation: \( p \Rightarrow q \) — falsch nur, wenn p wahr und q falsch ist
- Äquivalenz: \( p \Leftrightarrow q \) — wahr, wenn p und q denselben Wahrheitswert haben
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \lnot p & p \land q & p \lor q & p \Rightarrow q & p \Leftrightarrow q \\ \hline W & W & F & W & W & W & W \\ W & F & F & F & W & F & F \\ F & W & W & F & W & W & F \\ F & F & W & F & F & W & W \\ \hline \end{array} $$