Reduktion von Potenzen

Potenzen zu kürzen bedeutet, die Potenzregeln zu verwenden, um einen Ausdruck in eine einfachere Form zu bringen. Potenzen werden genutzt, um wiederholte Multiplikation kürzer zu schreiben, und durch das Kürzen können wir Ausdrücke umschreiben und zusammenfassen.

 

Beispiel 1: Gleiche Basis mit Multiplikation

Wenn wir Potenzen mit derselben Basis multiplizieren, addieren wir die Exponenten:

 

$$ \large a^3 \cdot a^4 = a^{3+4} = a^7 $$

 

 

Beispiel 2: Gleiche Basis mit Division

Wenn wir Potenzen mit derselben Basis dividieren, subtrahieren wir die Exponenten:

 

$$ \large \tfrac{a^7}{a^3} = a^{7-3} = a^4 $$

 

 

Beispiel 3: Potenz einer Potenz

Wenn wir eine Potenz haben, die selbst potenziert wird, multiplizieren wir die Exponenten:

 

$$ \large (a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12} $$

 

Beispiel 4: Mehrere verschiedene Basen

Wenn wir verschiedene Basen multiplizieren, können wir die Exponenten nicht addieren, aber wir können es zusammenfassen:

 

$$ \large 2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 = 10^3 $$

 

 

Beispiel 5: Negative Exponenten

Ein negativer Exponent bedeutet, dass wir den Kehrwert nehmen:

 

$$ \large a^{-3} = \tfrac{1}{a^3} $$

 

 

Beispiel 6: Null als Exponent

Jede Zahl (außer 0), die zur Potenz 0 erhoben wird, ergibt immer 1:

 

$$ \large a^0 = 1 \quad (a \neq 0) $$

 

 

Beispiel 7: Kombination von Regeln

Kürze den Ausdruck:

 

$$ \large \tfrac{a^5 \cdot a^3}{a^4} $$

 

Zuerst fassen wir im Zähler zusammen:

 

$$ \large a^{5+3} = a^8 $$

 

Dann dividieren wir:

 

$$ \large \tfrac{a^8}{a^4} = a^{8-4} = a^4 $$

 

 

Zusammenfassung

Wenn du Potenzen kürzt, denke daran:

 

• $$ \large a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$
• $$ \large \tfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$
• $$ \large (a^m)^n = a^{m \cdot n} $$
• $$ \large a^0 = 1 \quad (a \neq 0) $$
• $$ \large a^{-n} = \tfrac{1}{a^n} $$

 

Das Kürzen von Potenzen macht Ausdrücke einfacher und ist ein wichtiger Teil der Arbeit mit Algebra, Gleichungen und Funktionen.