Reduktion in Gleichungen
Wenn wir eine Gleichung vereinfachen, bedeutet das, dass wir sie mithilfe der Rechenregeln in eine einfachere Form umschreiben. Wir entfernen Klammern, fassen gleichartige Terme zusammen und machen die Ausdrücke auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens übersichtlicher. Die Vereinfachung ändert die Lösung nicht, erleichtert aber das Isolieren der Unbekannten.
Beispiel 1: Klammern entfernen
Löse die Gleichung:
$$ \large 2(x+3) = 14 $$
Wir multiplizieren die 2 in die Klammer hinein:
$$ \large 2x + 6 = 14 $$
Die Klammer ist nun entfernt und die Gleichung ist vereinfacht.
Beispiel 2: Gleichartige Terme zusammenfassen
Löse die Gleichung:
$$ \large 3x + 2x - 5 = 20 $$
Wir fassen die gleichartigen Terme auf der linken Seite zusammen:
$$ \large 5x - 5 = 20 $$
Die Gleichung ist vereinfacht und wir können nun \(x\) isolieren.
Beispiel 3: Brüche in Gleichungen
Löse die Gleichung:
$$ \large \tfrac{x}{2} + \tfrac{x}{3} = 10 $$
Wir finden einen gemeinsamen Nenner (6) und schreiben um:
$$ \large \tfrac{3x}{6} + \tfrac{2x}{6} = 10 $$
Wir fassen die Brüche zusammen:
$$ \large \tfrac{5x}{6} = 10 $$
Die Brüche sind vereinfacht und wir können nun \(x\) isolieren.
Beispiel 4: Terme verschieben
Löse die Gleichung:
$$ \large 4x + 7 = 2x + 15 $$
Wir sammeln alle \(x\)-Terme links und die Konstanten rechts:
$$ \large 4x - 2x = 15 - 7 $$
Das vereinfacht sich zu:
$$ \large 2x = 8 $$
Jetzt können wir \(x\) leicht isolieren.
Beispiel 5: Kombination von Schritten
Löse die Gleichung:
$$ \large 3(x-2) + 5 = 2(x+4) $$
Zuerst multiplizieren wir in die Klammern hinein:
$$ \large 3x - 6 + 5 = 2x + 8 $$
Wir vereinfachen die linke Seite:
$$ \large 3x - 1 = 2x + 8 $$
Wir verschieben Terme:
$$ \large 3x - 2x = 8 + 1 $$
Das reduziert sich zu:
$$ \large x = 9 $$
Zusammenfassung
Wenn du Gleichungen vereinfachst, denke daran:
- Entferne Klammern, indem du ausmultiplizierst oder die Vorzeichen änderst.
- Fasse gleichartige Terme auf derselben Seite zusammen.
- Finde einen gemeinsamen Nenner, wenn Brüche vorkommen.
- Verschiebe Terme zwischen den Seiten, damit die Unbekannten gesammelt werden.
- Vereinfache Schritt für Schritt, bis die Gleichung lösbar ist.
Die Reduktion in Gleichungen ist ein wichtiger Schritt der Lösung, denn sie macht die Gleichung übersichtlicher und bereitet das Isolieren der Unbekannten vor.