Substitutionsmethode

Die Substitutionsmethode besteht darin, eine der Unbekannten in einer Gleichung zu isolieren und diesen Ausdruck dann in die andere Gleichung einzusetzen. Auf diese Weise erhalten wir eine neue Gleichung mit nur einer Unbekannten, die wir lösen können. Wenn die erste Unbekannte gefunden ist, können wir danach die andere bestimmen.

 

Die Methode kann für alle Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten verwendet werden, kann aber etwas umständlicher sein, wenn die Zahlen groß oder unhandlich sind.

 

Wir haben ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen:

 

$$ \large 8y-4x=4 $$

$$ \large 2y+4x=20 $$

 

Hier können wir den Wert von \( \large x\) und \( \large y\) nicht direkt ablesen, also müssen wir ihn zuerst finden.

Wir nehmen die obere Gleichung und isolieren \( \large x\):

 

$$ \large \begin{aligned} 8y-4x &=4 \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  8y &=4+4x \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  8y-4 &=4x \quad \Leftrightarrow \\[12pt] \frac{8y-4}{4} &=\frac{4x}{4} \quad \Leftrightarrow \\[12pt] 2y-1 &=x \end{aligned}$$

 

Wir haben nun einen Ausdruck für den Wert von \( \large x\)

 

 

Finde die erste Unbekannte

 

$$ \large 8y-4x=4 $$

$$ \large 2y+4x=20 $$

 

Wir setzen nun den Wert von \(\large x\) in die zweite Gleichung ein

 

$$ \large 2y+4\color{red}{(2y-1)}=20 $$

 

Wir müssen die Klammern auflösen, indem wir ausmultiplizieren:

 

$$ \large \begin{aligned} 2y+8y-4&=20 \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  10y-4&=20 \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  \frac{10y-4}{10}&=\frac{20}{10} \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  y-\frac{4}{10} &= 2 \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  y&= 2+ \frac{4}{10} \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  y &= 2\frac{4}{10} \quad \Leftrightarrow  \\[12pt]  y &= 2,4  \end{aligned} $$

 

 

Finde die zweite Unbekannte

Wir haben zuvor herausgefunden, dass:

 

$$ \large x=2y-1 $$

 

Wir haben herausgefunden, dass:

 

$$ \large y = 2,4 $$

 

Also können wir \(\large y\) nun in die Gleichung für \(\large x\) einsetzen:

 

$$ \large x=2y-1 \quad \Leftrightarrow   $$

$$ \large x=2\cdot 2,4 -1 \quad \Leftrightarrow   $$

$$ \large x=4,8 -1 \quad \Leftrightarrow   $$

$$ \large x=3,8 $$

 

Kontrolle:

 

$$ \large 8\cdot2,4-4\cdot3,8=4 $$

$$ \large 2\cdot2,4+4\cdot3,8=20 $$

 

Beide sind wahr!

 

 

Hinweis: Die Substitutionsmethode funktioniert immer, zeigt aber manchmal, dass das System keine Lösung hat oder unendlich viele:

 

• Wenn man auf etwas Unmögliches stößt, z. B. \( \large 0 = 5 \), bedeutet das, dass das System keine Lösung hat.
• Wenn man auf etwas Triviales stößt, z. B. \( \large 0 = 0 \), bedeutet das, dass das System unendlich viele Lösungen hat.