Anzahl der Lösungen
Wenn es genau eine Lösung gibt
Am häufigsten hat ein Gleichungssystem genau eine Lösung. Dies geschieht, wenn die beiden Gleichungen zusammen ein bestimmtes Zahlenpaar für \( \large x \) und \( \large y \) ergeben.
$$ \large x+y=10 $$
$$ \large x-y=2 $$
Durch Lösen des Systems (z. B. mit Substitution oder Elimination) erhalten wir:
$$ \large x=6, \quad y=4 $$
Das System hat also genau eine Lösung.
Wenn es viele Lösungen gibt
Einige Gleichungssysteme führen zu unendlich vielen Lösungen:
$$ \large x+y = 20 $$
$$ \large 4x+4y=80 $$
Wenn wir die Methode der gleichen Koeffizienten verwenden, müssen wir die obere Gleichung mit 4 multiplizieren. Beide Gleichungen werden identisch:
$$ \large \textcolor{red}{4}x+\textcolor{red}{4}y=80 $$
$$ \large 4x+4y=80 $$
Wenn wir die beiden Gleichungen voneinander abziehen, erhalten wir:
$$ \large 0=0 $$
Das ist wahr und bedeutet, dass alle Werte, bei denen \( \large x+y=20 \), Lösungen sind.
$$ \large x=5, \quad y=15 $$
$$ \large x=\frac{22}{2}, \quad y=\frac{18}{2} $$
Es gibt also unendlich viele Lösungen.
Wenn es keine Lösung gibt
Einige Gleichungssysteme haben überhaupt keine Lösung:
$$ \large x+y = 20 $$
$$ \large 4x+4y=60 $$
Wenn wir die Methode der gleichen Koeffizienten verwenden, müssen wir die obere Gleichung mit 4 multiplizieren:
$$ \large \textcolor{red}{4}x+\textcolor{red}{4}y=80 $$
$$ \large 4x+4y=60 $$
Wenn wir die beiden Gleichungen voneinander abziehen, erhalten wir:
$$ \large 0=20 $$
Das ist falsch. Es bedeutet, dass egal welche Zahlen man für \( \large x \) und \( \large y \) einsetzt, das System niemals erfüllt werden kann.
Das System hat also keine Lösung.
Zusammenfassung
- Eine Lösung: Das System ergibt ein bestimmtes Ergebnis für \( \large x \) und \( \large y \).
- Viele Lösungen: Beide Gleichungen sind in Wirklichkeit dieselbe, daher gibt es unendlich viele Lösungen.
- Keine Lösung: Die Gleichungen widersprechen sich, daher gibt es überhaupt keine Lösung.