Eliminationsmethode

Das Eliminationsverfahren ist auch bekannt als Methode der gleichen Koeffizienten und besteht darin, die Koeffizienten vor einer Unbekannten in beiden Gleichungen gleich zu machen und dann die Gleichungen zu addieren oder zu subtrahieren, sodass die Unbekannte verschwindet.

Es bleibt eine Gleichung mit nur einer Unbekannten übrig, die wir lösen können.

 

Im Gegensatz zum Substitutionsverfahren isolieren wir keine Unbekannte direkt, sondern verändern beide Gleichungen, sodass eine Unbekannte eliminiert werden kann.

 

Koeffizienten sind die Zahlen, die vor den Unbekannten stehen. Zum Beispiel in dieser Gleichung \(\large 8y-4x=4\). Hier sind 8 und 4 die Koeffizienten.

Wir nehmen die beiden Gleichungen von zuvor:

 

$$ \large 8y-4x=4 $$

$$ \large 2y+4x=20 $$

 

Wir müssen gleiche Koeffizienten für eine der Unbekannten haben, z. B. \(\large y\). Das erreichen wir, indem wir die untere Gleichung mit 4 multiplizieren, sodass wir \(\large 8y\) erhalten, das bereits in der oberen Gleichung vorkommt.

 

$$ \large \textcolor{red}{4\cdot}2y+\textcolor{red}{4\cdot}4x=\textcolor{red}{4\cdot}20 \Leftrightarrow $$

$$ \large 8y+16x=80 $$

 

Nun haben wir zwei Gleichungen mit zwei gleichen Koeffizienten, nämlich \(\large 8y\).

 

Gleichungen subtrahieren

Nun müssen die beiden Gleichungen mit gleichen Koeffizienten subtrahiert werden. Das machen wir so:

 

$$ \large 8y-4x\textcolor{red}{-(8y+16x)}=4\textcolor{red}{-80} $$

 

Denke daran, Klammern zu setzen, damit keine Vorzeichenfehler entstehen.

Wir lösen die Minusklammer auf, die Vorzeichen müssen geändert werden:

 

$$ \large 8y-4x-(8y+16x)=4-80 \Leftrightarrow $$

$$ \large 8y-4x-8y-16x=4-80 $$

 

Wir fahren fort, indem wir \(\large x\) isolieren.

\(\large 8y\) verschwindet, weil \(\large 8y-8y=0\).

 

$$ \large \begin{aligned} -4x-16x &= -76 \Leftrightarrow \\[12pt] -20x &= -76 \Leftrightarrow \\[12pt] \frac{-20x}{20} &= \frac{-76}{20} \Leftrightarrow \\[12pt] -x &= -3,8 \Leftrightarrow \\[12pt] x &= 3,8 \end{aligned} $$

 

Die zweite Unbekannte finden

Nun, da wir \(\large x\) gefunden haben, müssen wir \(\large y\) finden.

Dies unterscheidet sich nicht von den früheren Beispielen. Wir setzen unser \(\large x\) in eine der Gleichungen ein und finden \(\large y\). Es spielt keine Rolle, welche der beiden Gleichungen du verwendest:

 

$$ \large \begin{aligned}2y+4x&=20 \Leftrightarrow \\[12pt] 2y+4\cdot 3,8&=20 \Leftrightarrow \\[12pt] 2y+15,2&=20 \Leftrightarrow \\[12pt] 2y&=20-15,2 \Leftrightarrow \\[12pt] \frac{2y}{2}&=\frac{4,8}{2} \Leftrightarrow \\[12pt] y&=2,4 \end{aligned} $$

 

Kontrolle

Wir setzen die Lösung in beide Gleichungen ein, um zu überprüfen:

 

$$ \large 8\cdot 2,4 - 4\cdot 3,8 = 4 $$

$$ \large 2\cdot 2,4 + 4\cdot 3,8 = 20 $$

 

Beides ist richtig, also ist die Lösung korrekt.

 

Hinweis: Das Eliminationsverfahren funktioniert immer, aber manchmal zeigt es, dass das System keine Lösung oder unendlich viele Lösungen hat:

 

• Wenn man bei etwas Unmöglichem endet, z. B. \( \large 0 = 5 \), bedeutet das, dass das System keine Lösung hat.
• Wenn man bei etwas Trivialem endet, z. B. \( \large 0 = 0 \), bedeutet das, dass das System unendlich viele Lösungen hat.