Ableitungen häufiger Funktionen

Die meisten Funktionen, die man in der Praxis begegnet, haben bekannte Ableitungen. Wenn man diese Standardableitungen kennt, kann man die Ableitung komplexerer Funktionen mithilfe der Rechenregeln schnell bestimmen. Hier werden die wichtigsten Funktionstypen behandelt: Polynome, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmen und trigonometrische Funktionen.

 

 

Polynome und Potenzfunktionen

Die Potenzregel ist die Grundlage fast aller Polynome. Wenn

 

$$ \large f(x) = x^n $$

 

dann gilt:

 

$$ \large f'(x) = n \cdot x^{n-1} $$

 

Beispiele:

 

$$ \large (x^3)' = 3x^2 \qquad (x^{-2})' = -2x^{-3} \qquad (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

 

Wenn das Polynom aus mehreren Termen besteht, wird jeder Term einzeln abgeleitet. Zum Beispiel:

 

$$ \large f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 6x^2 - 10x + 3 $$

 

 

Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen beschreiben viele natürliche Prozesse wie Wachstum, Zerfall und Zinseszins. Für die natürliche Exponentialfunktion gilt:

 

$$ \large (e^x)' = e^x $$

 

Das bedeutet, dass \( \large e^x \) ihre eigene Ableitung ist — sie ändert sich mit derselben Geschwindigkeit wie ihr aktueller Wert. Für eine allgemeine Exponentialfunktion gilt:

 

$$ \large (a^x)' = a^x \cdot \ln(a) $$

 

Beispiel:

 

$$ \large (2^x)' = 2^x \cdot \ln(2) $$

 

Wenn der Exponent selbst eine Funktion ist, wird die Kettenregel verwendet. Zum Beispiel:

 

$$ \large (e^{3x})' = 3e^{3x} \qquad (2^{x^2})' = 2^{x^2} \cdot \ln(2) \cdot 2x $$

 

 

Logarithmusfunktionen

Die natürliche Logarithmusfunktion \( \large \ln(x) \) ist die Umkehrfunktion von \( \large e^x \). Ihre Ableitung ist:

 

$$ \large (\ln x)' = \frac{1}{x} $$

 

Für einen Logarithmus mit einer anderen Basis \( \large a \) gilt:

 

$$ \large (\log_a x)' = \frac{1}{x \cdot \ln(a)} $$

 

Beispiel:

 

$$ \large (\log_{10} x)' = \frac{1}{x \cdot \ln(10)} $$

 

 

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen beschreiben Winkel und Kreisbewegungen. Ihre Ableitungen folgen einem festen Muster:

 

$$ \large (\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x \qquad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} $$

 

Beispiele für zusammengesetzte Funktionen:

 

$$ \large (\sin(2x))' = 2\cos(2x) \qquad (\cos(3x^2))' = -6x \sin(3x^2) $$

 

 

Kombinierte Funktionen

Durch die Kombination dieser Standardableitungen mit den Rechenregeln kann man auch sehr komplexe Funktionen behandeln. Zum Beispiel:

 

$$ \large f(x) = e^x \cdot \sin x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = e^x \cdot \sin x + e^x \cdot \cos x = e^x(\sin x + \cos x) $$

 

Oder mit Logarithmus und Potenzfunktion:

 

$$ \large f(x) = x^2 \ln x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 2x \ln x + x $$

 

 

Zusammenfassung

Tabelle der gebräuchlichsten Ableitungen:

 

Funktion	Ableitung
\( \large x^n \)	\( \large n \cdot x^{n-1} \)
\( \large e^x \)	\( \large e^x \)
\( \large a^x \)	\( \large a^x \cdot \ln(a) \)
\( \large \ln(x) \)	\( \large \frac{1}{x} \)
\( \large \sin(x) \)	\( \large \cos(x) \)
\( \large \cos(x) \)	\( \large -\sin(x) \)
\( \large \tan(x) \)	\( \large \frac{1}{\cos^2(x)} \)

 

 

Diese Standardableitungen bilden die Grundlage für alle weiteren Arbeiten in der Differentialrechnung. Sie werden verwendet, um Steigungen zu bestimmen, Extrema zu finden, Optimierungsprobleme zu lösen und Kurven zu analysieren. Sobald man sie beherrscht, wird das Ableiten selbst komplexer Funktionen zur Routine.