Differentialrechnung

Die Differentialrechnung ist eine der grundlegendsten Disziplinen der Analysis. Sie befasst sich damit, wie sich eine Größe verändert, und wird verwendet, um Veränderungen in physikalischen, biologischen und wirtschaftlichen Systemen zu beschreiben und vorherzusagen.

 

Ein zentrales Konzept der Differentialrechnung ist die Bestimmung der momentanen Änderungsrate einer Funktion — also wie schnell sich ihr Wert an einem bestimmten Punkt ändert. Dies wird durch die Ableitungsfunktion ausgedrückt, die die Steigung der Tangente beschreibt, welche den Graphen genau in diesem Punkt berührt.

 

 

Zusammenhang mit Grenzwert und Stetigkeit

Um über Änderungsraten sprechen zu können, muss man untersuchen, wie sich eine Funktion verhält, wenn sich die Eingangsgröße einem bestimmten Wert annähert. Hier wird das Konzept des Grenzwerts verwendet. Außerdem muss eine Funktion stetig sein, um differenzierbar zu sein, was bedeutet, dass ihr Graph ohne Unterbrechungen oder Sprünge gezeichnet werden kann.

 

$$ \large f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

 

Diese Formel zeigt, dass die Differentialrechnung eine natürliche Erweiterung des Grenzwertbegriffs ist: Man berechnet die Steigung als den Grenzwert der Sekantensteigung, wenn sich zwei Punkte des Graphen einander annähern.

 

Differenzieren

Differenzieren bedeutet, die Ableitungsfunktion \( \large f'(x) \) zu bestimmen, die beschreibt, wie schnell sich \( \large f(x) \) in Bezug auf \( \large x \) ändert. Wenn \( \large f(x) \) eine Strecke angibt, beschreibt \( \large f'(x) \) die Geschwindigkeit; wenn \( \large f(x) \) eine Temperatur angibt, zeigt \( \large f'(x) \) die Temperaturänderung im Laufe der Zeit.

 

 

Historischer Kontext

Die Differentialrechnung wurde Ende des 17. Jahrhunderts von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelt. Beide formulierten unabhängig voneinander die Grundlagen dessen, was wir heute als Analysis bezeichnen. Obwohl ihre Notationen unterschiedlich waren, beschrieben sie dasselbe Phänomen: den Zusammenhang zwischen Bewegung, Geschwindigkeit und Veränderung.

 

 

Intuition: Sekante, Tangente und Änderungsrate

Stellen Sie sich den Graphen einer Funktion \( \large f(x) \) vor. Wenn man zwei Punkte des Graphen durch eine Gerade verbindet, erhält man eine Sekante. Die Steigung der Sekante gibt die durchschnittliche Änderungsrate zwischen den Punkten an. Wenn sich die Punkte annähern, nähert sich die Sekante einer Geraden, die den Graphen nur in einem Punkt berührt — der Tangente.

 

Die Steigung dieser Tangente in einem Punkt nennt man die momentane Änderungsrate und genau diesen Wert versucht die Differentialrechnung zu bestimmen. Sie beschreibt, wie sich die Funktion genau an diesem Punkt verändert.