Differenzierbarkeit
Um eine Funktion ableiten zu können, muss sie differenzierbar sein. Das bedeutet, dass die Funktion an jedem Punkt eine eindeutig definierte Steigung besitzt. Nicht alle Funktionen erfüllen diese Bedingung — einige haben Sprünge, Spitzen oder Knicke, an denen die Ableitung nicht existiert.
Wann ist eine Funktion differenzierbar
Eine Funktion \( \large f(x) \) ist an einer Stelle \( \large x_0 \) differenzierbar, wenn die Ableitung dort existiert, das heißt, wenn der Grenzwert
$$ \large f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$
das gleiche Ergebnis liefert, egal ob man sich von links oder von rechts nähert. Wenn die linke und rechte Steigung nicht übereinstimmen, existiert keine Tangente — und somit keine Ableitung.
Eine Funktion, die in ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist, wird als glatt bezeichnet. Alle Polynome und Exponentialfunktionen sind glatt, während zum Beispiel die Betragsfunktion \( \large f(x) = |x| \) es nicht ist, da sie an der Nullstelle einen Knick hat.
Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Wenn eine Funktion differenzierbar ist, ist sie auch stetig — aber das Umgekehrte gilt nicht unbedingt. Man kann also eine Funktion haben, die glatt genug ist, um ohne Unterbrechung gezeichnet zu werden, aber dennoch nicht überall differenzierbar ist. Ein klassisches Beispiel ist \( \large f(x) = |x| \): sie ist stetig, aber nicht differenzierbar bei \( \large x = 0 \).
Regeln der Differentiation
Wenn man Ableitungen berechnet, ist es selten notwendig, auf die Definition zurückzugreifen. Stattdessen verwendet man eine feste Sammlung von Rechenregeln, die die Berechnung schnell und systematisch machen. Diese Regeln gelten für alle differenzierbaren Funktionen.
1. Konstantenregel
Die Ableitung einer Konstanten ist immer null:
$$ \large (k)' = 0 $$
Beispiel: Wenn \( \large f(x) = 7 \), dann ist \( \large f'(x) = 0 \).
2. Potenzregel
Die wichtigste Regel ist die Potenzregel:
$$ \large (x^n)' = n \cdot x^{n-1} $$
Beispiel: \( \large (x^4)' = 4x^3 \) und \( \large (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
3. Faktorregel
Ein konstanter Faktor kann vor die Ableitung gezogen werden:
$$ \large (k \cdot f(x))' = k \cdot f'(x) $$
Beispiel: \( \large (3x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x \).
4. Summen- und Differenzregel
Die Ableitung einer Summe (oder Differenz) ist die Summe (oder Differenz) der Ableitungen:
$$ \large (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) $$
Beispiel: \( \large (x^3 + 5x)' = 3x^2 + 5 \).
5. Produktregel
Wenn zwei Funktionen multipliziert werden, wird jeweils eine abgeleitet:
$$ \large (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) $$
Beispiel: Wenn \( \large f(x) = x^2 \) und \( \large g(x) = \sin x \), dann gilt
$$ \large (x^2 \cdot \sin x)' = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x $$
6. Quotientenregel
Für Brüche gilt eine entsprechende Regel:
$$ \large \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2} $$
Beispiel: \( \large \left( \frac{x^2}{x+1} \right)' = \frac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2} \).
7. Kettenregel
Wenn eine Funktion aus einer anderen besteht, wird die Kettenregel angewendet:
$$ \large (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Beispiel: \( \large (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot 3 = 3 \cdot \cos(3x) \).
Grafische und praktische Konsequenzen
Die sieben Regeln ermöglichen es, die meisten in der Praxis vorkommenden Funktionen zu differenzieren. Sie zeigen auch, dass die Ableitung nicht nur ein abstraktes Werkzeug ist, sondern ein System, das selbst komplexe Zusammenhänge handhaben kann — von einfachen Polynomen bis zu zusammengesetzten Exponential- und trigonometrischen Funktionen.
Beispiel: kombinierte Funktionen
Bestimme die Ableitung von \( \large f(x) = (2x^2 + 3x) \cdot e^x \).
Hier müssen sowohl die Produktregel als auch die Summenregel angewendet werden:
$$ \large f'(x) = (4x + 3) \cdot e^x + (2x^2 + 3x) \cdot e^x = e^x \cdot (2x^2 + 7x + 3) $$
Das zeigt, dass selbst eine ziemlich komplexe Funktion durch die Kombination einiger weniger einfacher Regeln abgeleitet werden kann.
Zusammenfassung
Eine Funktion ist differenzierbar, wenn sie an jedem Punkt eine eindeutig definierte Tangente besitzt. Sobald sie differenzierbar ist, können die Ableitungsregeln verwendet werden, um die Ableitung schnell zu bestimmen, ohne auf die Grenzwertdefinition zurückzugreifen. Diese Regeln bilden das Fundament für alle weiteren Arbeiten in der Differentialrechnung.