Funktioner og mængder

En funktion kan betragtes som en afbildning mellem mængder. Funktioner er et centralt begreb i matematik, fordi de beskriver, hvordan hvert element i én mængde svarer til præcist ét element i en anden mængde.

 

 

Funktioner som afbildning

En funktion \( \large f\) fra en mængde \( \large A\) til en mængde \( \large B\) er en regel, der tildeler hvert element i \( \large A\) præcist ét element i \( \large B\). Det skrives som:

 

$$ \large f : A \to B $$

 

Hvis \( \large a \in A\), så er billedet af \( \large a\) under \( \large f\) skrevet som \( \large f(a)\).

 

 

Definitionsmængde og værdimængde

For en funktion \( \large f : A \to B\):

 

• \( \large A\) kaldes definitionsmængden (eller domænet).
• \( \large B\) kaldes målmængden.
• Mængden af alle faktiske funktionsværdier \( \large f(a)\) kaldes værdimængden (eller billedmængden).

 

Eksempel: Hvis \( \large f(x) = x^2\) med definitionsmængden \( \large \mathbb{R}\), så er værdimængden \( \large [0,\infty [\).

 

 

Anvendelser

Funktioner spiller en central rolle i både matematik og datalogi.

 

• I matematik bruges de til at beskrive sammenhænge mellem variable, til at opstille modeller og til at gennemføre beregninger.
• I datalogi fungerer funktioner som byggesten i programmeringssprog, algoritmer og databaser. Mange beregninger kan opfattes som funktioner, der oversætter input til output.
• I kryptografi og informationssikkerhed er funktioner med særlige egenskaber (fx bijektive funktioner og hashfunktioner) fundamentale.

 

At forstå funktioner er derfor nødvendigt, både for at mestre matematik og for at arbejde med teknologi.