Eksempler på funktioner

For bedre at forstå funktioners egenskaber ser vi her på konkrete eksempler i de klassiske talmængder: de naturlige tal \( \large \mathbb{N}\), heltallene \( \large \mathbb{Z}\) og de reelle tal \( \large \mathbb{R}\).

 

Eksempel 1: Injektiv funktion i \( \large \mathbb{N}\)

Funktionen \( \large f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) givet ved \( \large f(n) = 2n\).

 

$$ \large f(n) = 2n $$

 

 

Injektiv funktion

 

Her er \( f\) injektiv, fordi to forskellige naturlige tal altid giver forskellige resultater, når de ganges med 2. Men funktionen er ikke surjektiv, da ulige tal ikke rammes.

 

 

Eksempel 2: Surjektiv funktion i \( \large \mathbb{Z}\)

Funktionen \( \large f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) givet ved \( \large f(n) = \lfloor \tfrac{n}{2} \rfloor\).

 

$$ \large f(n) = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor $$

 

 

Surjektiv funktion

 

Her er funktionen surjektiv, fordi hvert heltal rammes af mindst ét \( \large n\). For eksempel giver \(\large f(2)=1\) og \(\large f(3)=1\).

Til gengæld er funktionen ikke injektiv, fordi flere input kan give samme output.

 

 

Eksempel 3: Bijektiv funktion i \( \large \mathbb{Z}\)

Funktionen \( \large f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) givet ved \( \large f(n) = n+1\).

 

$$ \large f(n) = n+1 $$

 

 

Her er \(\large f\) bijektiv: hvert heltal får et unikt output, og alle heltal rammes.

Dermed kan funktionen vendes om med en invers \(\large f^{-1}(n) = n-1\).

 

 

Eksempel 4: Funktioner i \( \large \mathbb{R}\)

I de reelle tal kan vi finde mange funktioner, der illustrerer egenskaberne:

 

  • \( \large f(x) = x^3 \) fra \( \large \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) er bijektiv. Hvert reelt tal har et unikt billede, og hele \( \large \mathbb{R}\) bliver dækket.
  • \( \large f(x) = x^2 \) fra \( \large \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) er ikke injektiv (fordi \( f(2)=f(-2)\)), men den er surjektiv, hvis man kun ser på \( \large [0,\infty[\) som målmængde.
  • \( \large f(x) = e^x \) fra \( \large \mathbb{R} \to (0,\infty)\) er bijektiv, fordi alle positive reelle tal rammes entydigt.

 

 

Opsummering

Eksemplerne viser, at funktioners egenskaber afhænger af:

 

  • Hvilke mængder vi betragter som definition og målmængde.
  • Hvordan funktionen kobler input og output.

 

De klassiske talmængder \( \large \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}\) giver mange gode og enkle eksempler på injektive, surjektive og bijektive funktioner.