Règles de probabilité pour les événements

Lorsqu’on travaille avec la probabilité, il existe quelques règles de calcul de base pour les événements, qui sont utilisées encore et encore.

Si la probabilité d’un événement est $P(A)$, alors la probabilité qu’il ne se produise pas est :

$$ P(\text{non A}) = 1 - P(A) $$

Exemple :

La probabilité d’obtenir un six avec un dé est $P(A) = \tfrac{1}{6}$.

La probabilité de ne pas obtenir un six est $1 - \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{6}$.

Si deux événements ne peuvent pas se produire en même temps (ils sont disjoints), alors :

$$ P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B) $$

Exemple :

Lors d’un lancer de pièce, $P(\text{pile}) = \tfrac{1}{2}$ et $P(\text{face}) = \tfrac{1}{2}$.

La probabilité d’obtenir pile ou face est $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1$.

Si deux événements peuvent se produire en même temps, il faut soustraire une fois le chevauchement :

$$ P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ et } B) $$

Exemple :

Dans un jeu de cartes, la probabilité de tirer un cœur est $P(A)$, et celle de tirer une figure est $P(B)$.

Une carte de cœur qui est aussi une figure compte dans les deux groupes, donc on la soustrait une fois.

Si deux événements sont indépendants, alors :

$$ P(A \text{ et } B) = P(A) \cdot P(B) $$

Exemple :

La probabilité d’obtenir un six avec un dé est $\tfrac{1}{6}$.

Si on lance deux fois, la probabilité d’obtenir deux six de suite est :

$$ \large \tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36} $$

Parfois, la probabilité d’un événement dépend du fait qu’un autre se soit déjà produit. Cela s’appelle la probabilité conditionnelle :

$$ P(A|B) = \frac{P(A \text{ et } B)}{P(B)} $$

Exemple :

Si tu tires deux cartes d’affilée d’un jeu sans remettre la première :

La probabilité que la première soit un as est $\tfrac{4}{52}$.

Si cela arrive, il reste 51 cartes, donc la probabilité d’un autre as est $\tfrac{3}{51}$.

Ici, la probabilité de la deuxième dépend de ce qui s’est passé au premier tirage.

Règle	Formule	Condition
Complément	$$ P(\text{non A}) = 1 - P(A) $$	-
Addition	$$ P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B) $$	Si A et B ne peuvent pas se produire simultanément
Addition généralisée	$$ P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ et } B) $$	Si A et B peuvent se chevaucher
Multiplication	$$ P(A \text{ et } B) = P(A) \cdot P(B) $$	Si A et B sont indépendants
Probabilité conditionnelle	$$ P(A\|B) = \tfrac{P(A \text{ et } B)}{P(B)} $$	-