Espace des résultats et événements
Un espace des résultats est l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience.
- Lancer une pièce : \(\Omega = \{\text{pile, face}\}\)
- Lancer un dé : \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\)
Événements
Un événement est un ou plusieurs résultats de l’espace des résultats.
- Obtenir un 4 avec un dé : \(\{4\}\)
- Obtenir un nombre pair : \(\{2,4,6\}\)
On parle aussi d’événements particuliers :
- Événement impossible : par exemple obtenir un \(8\) avec un dé.
- Événement certain : par exemple obtenir un nombre inférieur à \(7\) avec un dé.
Espace uniforme
On parle d’un espace uniforme lorsque tous les résultats sont également probables.
Cela pourrait être, par exemple, un dé équilibré.
Ici l’espace est \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), et tous les résultats ont la même probabilité.
La probabilité d’obtenir un six est :
\(\large \tfrac{1}{6}\) ou un sur six
Si l’événement est obtenir un nombre impair, les résultats favorables sont \(\{1,3,5\}\).
La probabilité est :
$$ \large\tfrac{3}{6} \Leftrightarrow \tfrac{1}{2} \Leftrightarrow 0,5 \Leftrightarrow 50\% $$
Espace non uniforme
Dans certaines expériences les probabilités ne sont pas égales. On parle alors d’un espace non uniforme.
Un exemple est la loterie, où la probabilité de gagner est beaucoup plus faible que celle de perdre.
Deux dés
La probabilité d’obtenir un six avec un dé est \(\tfrac{1}{6}\).
Mais que se passe-t-il si l’on a deux dés et que l’on veut la probabilité d’obtenir au moins un six ?
Il y a en tout \(6 \times 6 = 36\) résultats possibles.
Les résultats favorables peuvent être présentés dans un tableau, où le premier dé est l’axe horizontal et le second l’axe vertical :
Résultats favorables
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | X | |||||
| 2 | X | |||||
| 3 | X | |||||
| 4 | X | |||||
| 5 | X | |||||
| 6 | X | X | X | X | X | X |
Comme on peut le voir, des croix ont été placées dans tous les résultats avec au moins un six. Il y en a 11 au total.
Il peut être tentant de penser qu’il y a 12 résultats favorables (6 pour chaque dé), mais le résultat où les deux sont des six ne compte qu’une seule fois. C’est important à retenir !
La probabilité est donc :
$$ \large \tfrac{11}{36} \approx 0,30 = 30\% $$
Si l’événement était d’obtenir deux six, il n’y a qu’un seul résultat favorable :
$$ \large \tfrac{1}{36} \approx 0,0277 = 2,77\% $$
Résumé
- Espace des résultats = tous les résultats possibles.
- Événement = un ou plusieurs résultats.
- Probabilité = proportion de résultats favorables par rapport au total.
- Avec plus de dés ou d’expériences, l’espace des résultats grandit rapidement.