Lois des ensembles
Les lois des ensembles décrivent les règles fondamentales du fonctionnement des opérations sur les ensembles. Ces lois correspondent souvent à des règles connues de l’algèbre et de la logique et nous fournissent des outils pour simplifier et manipuler des expressions avec des ensembles.
Lois d’identité
Les lois d’identité décrivent comment l’union et l’intersection fonctionnent avec l’ensemble vide et l’univers \( \large U\):
$$ \large A \cup \emptyset = A $$
$$ \large A \cap U = A $$
Ces lois montrent que l’ensemble vide n’ajoute rien à l’union et que l’univers n’enlève rien à l’intersection.
Lois commutatives, associatives et distributives
Ces lois montrent que l’ordre et le regroupement des opérations ne changent pas le résultat :
- Commutativité :
$$ \large A \cup B = B \cup A, \quad A \cap B = B \cap A $$
- Associativité :
$$ \large (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $$
$$ \large (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) $$
- Distributivité :
$$ \large A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) $$
$$ \large A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) $$
Lois de De Morgan
Les lois de De Morgan relient l’union et l’intersection au complément :
$$ \large (A \cup B)^c = A^c \cap B^c $$
$$ \large (A \cap B)^c = A^c \cup B^c $$
Ces lois sont importantes en théorie des ensembles comme en logique.
Lois d’absorption
Les lois d’absorption décrivent comment un ensemble combiné avec une opération sur lui-même et un autre ensemble se simplifie :
$$ \large A \cup (A \cap B) = A $$
$$ \large A \cap (A \cup B) = A $$
Généralisation à plusieurs ensembles
Beaucoup de lois des ensembles peuvent être étendues à plus de deux ensembles. Par exemple :
$$ \large A \cup (B \cup C \cup D) = (A \cup B) \cup (C \cup D) $$
$$ \large A \cap (B \cap C \cap D) = (A \cap B) \cap (C \cap D) $$
Cette généralisation montre que la plupart des lois ne concernent pas seulement deux ensembles, mais peuvent s’étendre à un nombre quelconque.