Fonctions et ensembles

Une fonction peut être considérée comme une application entre ensembles. Les fonctions sont un concept central en mathématiques car elles décrivent comment chaque élément d'un ensemble correspond exactement à un élément d'un autre ensemble.

 

 

Fonctions comme applications

Une fonction \( \large f\) d'un ensemble \( \large A\) vers un ensemble \( \large B\) est une règle qui associe à chaque élément de \( \large A\) exactement un élément de \( \large B\). Elle s'écrit :

 

$$ \large f : A \to B $$

 

Si \( \large a \in A\), alors l'image de \( \large a\) par \( \large f\) s'écrit \( \large f(a)\).

 

 

Domaine et codomaine

Pour une fonction \( \large f : A \to B\):

 

• \( \large A\) s'appelle le domaine.
• \( \large B\) s'appelle le codomaine.
• L'ensemble de toutes les valeurs réelles \( \large f(a)\) s'appelle l'image (ou ensemble des valeurs).

 

Exemple : Si \( \large f(x) = x^2\) avec domaine \( \large \mathbb{R}\), alors l'image est \( \large [0,\infty [\).

 

 

Applications

Les fonctions jouent un rôle central à la fois en mathématiques et en informatique.

 

• En mathématiques, elles sont utilisées pour décrire des relations entre variables, établir des modèles et effectuer des calculs.
• En informatique, les fonctions servent de blocs de construction dans les langages de programmation, les algorithmes et les bases de données. De nombreux calculs peuvent être compris comme des fonctions traduisant des entrées en sorties.
• En cryptographie et sécurité de l'information, les fonctions ayant des propriétés particulières (par exemple les fonctions bijectives et les fonctions de hachage) sont fondamentales.

 

Comprendre les fonctions est donc nécessaire, tant pour maîtriser les mathématiques que pour travailler avec la technologie.