La théorie des ensembles est l'étude des collections d'objets, qui en mathématiques s'appellent ensembles.

Un ensemble est constitué d'éléments, par exemple des nombres, des lettres ou d'autres objets mathématiques. L'idée est simple, mais elle constitue la base d'une grande partie des mathématiques discrètes, de la logique et de l'informatique.

 

Qu'est-ce qu'un ensemble

Un ensemble est une collection d'éléments. Nous disons qu'un ensemble est constitué de ses éléments. Si nous avons un ensemble A avec les éléments 1, 2 et 3, nous pouvons écrire :

 

$$ \large A = \{1, 2, 3\} $$

 

 

Notation

Si un élément appartient à un ensemble, on l'écrit avec le symbole \( \large \in\). Si l'élément n'est pas inclus, on utilise le symbole \( \large \notin\).

 

• \(\large a \in A\) signifie que l'élément \( \large a\) est dans l'ensemble \( \large A\).
• \(\large a \notin A\) signifie que l'élément \( \large a\) n'est pas dans l'ensemble \( \large A\).

 

 

Symboles logiques

En théorie des ensembles, on utilise aussi souvent des symboles logiques pour écrire des définitions plus précisément :

 

• \( \large \forall \) signifie "pour tout".
• \( \large \exists \) signifie "il existe".
• \( \large \wedge \) signifie "et".
• \( \large \vee \) signifie "ou".
• \( \large \Rightarrow \) signifie "si … alors".
• \( \large \Leftrightarrow \) signifie "si et seulement si".

 

 

Autres notations

Certaines notations sont souvent utilisées en relation avec les fonctions et les ensembles de nombres :

 

• \( \large \lfloor x \rfloor \) : fonction plancher, le plus grand entier inférieur ou égal à \( \large x \).
• \( \large \lceil x \rceil \) : fonction plafond, le plus petit entier supérieur ou égal à \( \large x \).
• Intervalles :
  • \( \large [a,b] \) : incluant à la fois \( \large a \) et \( \large b \).
  • \( \large [a,b[ \) : incluant \( \large a \), mais excluant \( \large b \).
  • \( \large ]a,b] \) : excluant \( \large a \), mais incluant \( \large b \).

 

 

L'ensemble vide

Un ensemble peut aussi être vide. L'ensemble vide ne contient aucun élément et s'écrit :

 

$$ \large \emptyset \quad \text{ou} \quad \{\} $$

 

Exemple : L'ensemble des biscuits entiers dans une boîte vide est un ensemble vide.

 

 

Ensembles égaux

Deux ensembles sont égaux s'ils contiennent exactement les mêmes éléments. L'ordre n'a pas d'importance et les répétitions ne comptent pas.

Exemple :

 

$$ \large A = \{1, 2, 3, 4, 5\}, \quad B = \{5, 4, 3, 2, 1\} $$

 

Ici \( \large A = B \), puisque les deux ensembles contiennent les mêmes éléments.

 

 

Cardinalité

La cardinalité d'un ensemble signifie le nombre d'éléments distincts dans l'ensemble. Elle s'écrit \( \large |A|\).

Exemples :

 

• Si \( \large A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\), alors \(|A| = 5\).
• Si \( \large B = \{1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3\}\), alors \(|B| = 5\), car les répétitions ne sont pas comptées.

 

Les ensembles numériques importants

En mathématiques, les nombres sont divisés en plusieurs ensembles importants :

 

• \( \large \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\} \), l'ensemble des nombres naturels.
• \( \large \mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\} \), l'ensemble des entiers.
• \( \large \mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \,\middle|\, p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\right\} \), l'ensemble des nombres rationnels.
• \( \large \mathbb{R} \), l'ensemble des nombres réels.
• \( \large \mathbb{C} \), l'ensemble des nombres complexes.

 

Remarque : Il existe différentes conventions concernant l'inclusion du 0 dans les nombres naturels.