Vecteurs dans l’espace

Les vecteurs dans l’espace étendent les mêmes idées que dans le plan, mais maintenant avec trois coordonnées. Ils sont utilisés pour décrire des points, des directions et des relations en trois dimensions.

 

Coordonnées

Un vecteur dans l’espace peut être décrit par les coordonnées \( \large (x,y,z) \). Si le vecteur commence à l’origine et se termine au point \( \large (x,y,z) \), il s’écrit :

 

$$ \large \mathbf{v} = (x,y,z) $$

 

 

Addition et soustraction

Deux vecteurs dans l’espace sont additionnés en additionnant leurs coordonnées correspondantes :

 

$$ \large (x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) = (x_1 + x_2,\; y_1 + y_2,\; z_1 + z_2) $$

 

La soustraction se fait de la même manière :

 

$$ \large (x_1,y_1,z_1) - (x_2,y_2,z_2) = (x_1 - x_2,\; y_1 - y_2,\; z_1 - z_2) $$

 

 

Multiplication par un nombre

Un vecteur peut être multiplié par un nombre \( \large k \) en multipliant les trois coordonnées :

 

$$ \large k \cdot (x,y,z) = (k \cdot x,\; k \cdot y,\; k \cdot z) $$

 

 

Longueur

La longueur d’un vecteur \( \large \mathbf{v} = (x,y,z) \) est donnée par :

 

$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$

 

 

Produit scalaire

Pour deux vecteurs \( \large \mathbf{u} = (x_1,y_1,z_1) \) et \( \large \mathbf{v} = (x_2,y_2,z_2) \), le produit scalaire est défini comme :

 

$$ \large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 $$

 

Cela peut aussi s’exprimer à l’aide de l’angle \( \large \theta \) entre les vecteurs :

 

$$ \large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}| \cdot \cos(\theta) $$

 

 

Produit vectoriel

En trois dimensions, on peut former le produit vectoriel de deux vecteurs. Pour \( \large \mathbf{u} = (x_1,y_1,z_1) \) et \( \large \mathbf{v} = (x_2,y_2,z_2) \) :

 

$$ \large \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2,\; z_1 \cdot x_2 - x_1 \cdot z_2,\; x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2) $$

 

Le produit vectoriel est un nouveau vecteur perpendiculaire à la fois à \( \large \mathbf{u} \) et \( \large \mathbf{v} \). La longueur du produit vectoriel peut être interprétée comme l’aire du parallélogramme engendré par les vecteurs.

 

 

Droites et plans

Dans l’espace, les vecteurs peuvent être utilisés pour décrire des droites et des plans.

 

Une droite passant par le point \( \large P_0(x_0,y_0,z_0) \) avec un vecteur directeur \( \large \mathbf{r} = (a,b,c) \) peut s’écrire :

 

$$ \large (x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t \cdot (a,b,c), \quad t \in \mathbb{R} $$

 

Un plan peut être décrit par un vecteur normal \( \large \mathbf{n} = (a,b,c) \) et un point \( \large P_0(x_0,y_0,z_0) \) :

 

$$ \large a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 $$