Réduction de puissances
Réduire des puissances signifie utiliser les règles des puissances pour écrire une expression sous une forme plus simple. Les puissances servent à raccourcir la multiplication répétée, et avec la réduction nous pouvons réécrire et regrouper des expressions.
Exemple 1 : Même base avec multiplication
Lorsque nous multiplions des puissances de même base, nous additionnons les exposants :
$$ \large a^3 \cdot a^4 = a^{3+4} = a^7 $$
Exemple 2 : Même base avec division
Lorsque nous divisons des puissances de même base, nous soustrayons les exposants :
$$ \large \tfrac{a^7}{a^3} = a^{7-3} = a^4 $$
Exemple 3 : Puissance d'une puissance
Lorsque nous avons une puissance elle-même élevée à une puissance, nous multiplions les exposants :
$$ \large (a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12} $$
Exemple 4 : Plusieurs bases différentes
Lorsque nous multiplions des bases différentes, nous ne pouvons pas additionner les exposants, mais nous pouvons les regrouper :
$$ \large 2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 = 10^3 $$
Exemple 5 : Exposants négatifs
Un exposant négatif signifie que nous prenons la valeur réciproque :
$$ \large a^{-3} = \tfrac{1}{a^3} $$
Exemple 6 : Zéro comme exposant
Tout nombre (sauf 0) élevé à la puissance 0 vaut toujours 1 :
$$ \large a^0 = 1 \quad (a \neq 0) $$
Exemple 7 : Combinaison de règles
Réduis l'expression :
$$ \large \tfrac{a^5 \cdot a^3}{a^4} $$
Nous regroupons d'abord dans le numérateur :
$$ \large a^{5+3} = a^8 $$
Ensuite, nous divisons :
$$ \large \tfrac{a^8}{a^4} = a^{8-4} = a^4 $$
Résumé
Lorsque tu réduis des puissances, souviens-toi :
- $$ \large a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$
- $$ \large \tfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$
- $$ \large (a^m)^n = a^{m \cdot n} $$
- $$ \large a^0 = 1 \quad (a \neq 0) $$
- $$ \large a^{-n} = \tfrac{1}{a^n} $$
La réduction des puissances rend les expressions plus simples et constitue une étape importante dans le travail avec l'algèbre, les équations et les fonctions.