Nombre de solutions
Lorsqu’il y a exactement une solution
Le cas le plus courant est qu’un système d’équations ait exactement une solution. Cela se produit lorsque les deux équations donnent ensemble une paire précise de valeurs pour \( \large x \) et \( \large y \).
$$ \large x+y=10 $$
$$ \large x-y=2 $$
En résolvant le système (par exemple avec la substitution ou l’élimination), nous trouvons :
$$ \large x=6, \quad y=4 $$
Le système a donc exactement une solution.
Lorsqu’il y a de nombreuses solutions
Certains systèmes d’équations aboutissent à une infinité de solutions :
$$ \large x+y = 20 $$
$$ \large 4x+4y=80 $$
Si nous utilisons la Méthode des Coefficients Égaux, nous devons multiplier la première équation par 4. Les deux équations deviennent alors identiques :
$$ \large \textcolor{red}{4}x+\textcolor{red}{4}y=80 $$
$$ \large 4x+4y=80 $$
En soustrayant les deux équations, nous obtenons :
$$ \large 0=0 $$
C’est vrai, et cela signifie que toutes les valeurs pour lesquelles \( \large x+y=20 \) sont des solutions.
$$ \large x=5, \quad y=15 $$
$$ \large x=\frac{22}{2}, \quad y=\frac{18}{2} $$
Il existe donc une infinité de solutions.
Lorsqu’il n’y a aucune solution
Certains systèmes d’équations n’ont aucune solution :
$$ \large x+y = 20 $$
$$ \large 4x+4y=60 $$
Si nous utilisons la Méthode des Coefficients Égaux, nous devons multiplier la première équation par 4 :
$$ \large \textcolor{red}{4}x+\textcolor{red}{4}y=80 $$
$$ \large 4x+4y=60 $$
En soustrayant les deux équations, nous obtenons :
$$ \large 0=20 $$
Ceci est faux. Cela signifie que, quels que soient les nombres choisis pour \( \large x \) et \( \large y \), le système ne peut jamais être satisfait.
Le système n’a donc aucune solution.
Résumé
- Une solution : Le système donne un résultat précis pour \( \large x \) et \( \large y \).
- De nombreuses solutions : Les deux équations se révèlent identiques, donc il existe une infinité de solutions.
- Aucune solution : Les équations se contredisent, donc il n’existe aucune solution.