Méthode d’élimination

La méthode d’élimination est aussi connue sous le nom de méthode des coefficients égaux et consiste à rendre les coefficients devant une inconnue égaux dans les deux équations, puis à additionner ou soustraire les équations de sorte que l’inconnue disparaisse.

Il reste alors une équation avec une seule inconnue, que l’on peut résoudre.

Contrairement à la méthode de substitution, on n’isole pas directement une inconnue, mais on modifie les deux équations pour qu’une inconnue puisse être éliminée.

Les coefficients sont les nombres placés devant les inconnues. Par exemple, dans cette équation $\large 8y-4x=4$. Ici, 8 et 4 sont les coefficients.

Nous reprenons les deux équations précédentes :

$$ \large 8y-4x=4 $$

$$ \large 2y+4x=20 $$

Nous devons avoir des coefficients égaux pour l’une des inconnues, par exemple $\large y$. Nous pouvons obtenir cela en multipliant l’équation inférieure par 4, de sorte que nous ayons $\large 8y$, comme dans l’équation supérieure.

$$ \large \textcolor{red}{4\cdot}2y+\textcolor{red}{4\cdot}4x=\textcolor{red}{4\cdot}20 \Leftrightarrow $$

$$ \large 8y+16x=80 $$

Nous avons maintenant deux équations avec deux coefficients égaux, à savoir $\large 8y$.

Sous-traiter les équations

Maintenant, les deux équations avec des coefficients égaux doivent être soustraites. On procède ainsi :

$$ \large 8y-4x\textcolor{red}{-(8y+16x)}=4\textcolor{red}{-80} $$

N’oubliez pas de mettre des parenthèses pour éviter les erreurs de signe.

Nous supprimons la parenthèse avec le signe moins, donc les signes doivent changer :

$$ \large 8y-4x-(8y+16x)=4-80 \Leftrightarrow $$

$$ \large 8y-4x-8y-16x=4-80 $$

Nous continuons en isolant $\large x$.

$\large 8y$ disparaît car $\large 8y-8y=0$.

$$ \large \begin{aligned} -4x-16x &= -76 \Leftrightarrow \\[12pt] -20x &= -76 \Leftrightarrow \\[12pt] \frac{-20x}{20} &= \frac{-76}{20} \Leftrightarrow \\[12pt] -x &= -3,8 \Leftrightarrow \\[12pt] x &= 3,8 \end{aligned} $$

Trouver la deuxième inconnue

Maintenant que nous avons trouvé $\large x$, nous devons trouver $\large y$.

Cela ne diffère pas des exemples précédents. Nous insérons notre $\large x$ dans l’une des équations et trouvons $\large y$. Peu importe laquelle des deux équations vous utilisez :

$$ \large \begin{aligned}2y+4x&=20 \Leftrightarrow \\[12pt] 2y+4\cdot 3,8&=20 \Leftrightarrow \\[12pt] 2y+15,2&=20 \Leftrightarrow \\[12pt] 2y&=20-15,2 \Leftrightarrow \\[12pt] \frac{2y}{2}&=\frac{4,8}{2} \Leftrightarrow \\[12pt] y&=2,4 \end{aligned} $$

Vérification

Nous insérons la solution dans les deux équations pour vérifier :

$$ \large 8\cdot 2,4 - 4\cdot 3,8 = 4 $$

$$ \large 2\cdot 2,4 + 4\cdot 3,8 = 20 $$

Les deux sont vrais, donc la solution est correcte.

Remarque : La méthode d’élimination fonctionne toujours, mais parfois elle montre que le système n’a pas de solution ou en a une infinité :

Si l’on arrive à quelque chose d’impossible, par exemple $ \large 0 = 5 $, cela signifie que le système n’a pas de solution.
Si l’on arrive à quelque chose de trivial, par exemple $ \large 0 = 0 $, cela signifie que le système a une infinité de solutions.