Méthode de substitution

La méthode de substitution consiste à isoler l’une des inconnues dans une équation puis à insérer cette expression dans l’autre équation. On obtient ainsi une nouvelle équation avec une seule inconnue, que l’on peut résoudre. Une fois la première inconnue trouvée, on peut ensuite déterminer l’autre.

 

La méthode peut être utilisée pour tous les systèmes d’équations à deux inconnues, mais elle peut être un peu plus lourde si les nombres sont grands ou peu pratiques.

 

Nous avons un système de deux équations :

 

$$ \large 8y-4x=4 $$

$$ \large 2y+4x=20 $$

 

Ici, nous ne pouvons pas lire directement la valeur de \( \large x\) et \( \large y\), nous devons donc la déterminer.

Nous prenons la première équation et isolons \( \large x\):

 

$$ \large \begin{aligned} 8y-4x &=4 \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  8y &=4+4x \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  8y-4 &=4x \quad \Leftrightarrow \\[12pt] \frac{8y-4}{4} &=\frac{4x}{4} \quad \Leftrightarrow \\[12pt] 2y-1 &=x \end{aligned}$$

 

Nous avons maintenant une expression pour la valeur de \( \large x\)

 

 

Trouver la première inconnue

 

$$ \large 8y-4x=4 $$

$$ \large 2y+4x=20 $$

 

Nous insérons maintenant la valeur de \(\large x\) dans la deuxième équation

 

$$ \large 2y+4\color{red}{(2y-1)}=20 $$

 

Nous devons supprimer les parenthèses en multipliant :

 

$$ \large \begin{aligned} 2y+8y-4&=20 \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  10y-4&=20 \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  \frac{10y-4}{10}&=\frac{20}{10} \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  y-\frac{4}{10} &= 2 \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  y&= 2+ \frac{4}{10} \quad \Leftrightarrow \\[12pt]  y &= 2\frac{4}{10} \quad \Leftrightarrow  \\[12pt]  y &= 2,4  \end{aligned} $$

 

 

Trouver la deuxième inconnue

Nous avons trouvé plus tôt que :

 

$$ \large x=2y-1 $$

 

Nous avons trouvé que :

 

$$ \large y = 2,4 $$

 

Nous pouvons maintenant insérer \(\large y\) dans l’équation de \(\large x\):

 

$$ \large x=2y-1 \quad \Leftrightarrow   $$

$$ \large x=2\cdot 2,4 -1 \quad \Leftrightarrow   $$

$$ \large x=4,8 -1 \quad \Leftrightarrow   $$

$$ \large x=3,8 $$

 

Vérification :

 

$$ \large 8\cdot2,4-4\cdot3,8=4 $$

$$ \large 2\cdot2,4+4\cdot3,8=20 $$

 

Les deux sont correctes !

 

 

Remarque : La méthode de substitution fonctionne toujours, mais elle montre parfois que le système n’a pas de solution ou en a une infinité :

 

• Si l’on obtient quelque chose d’impossible, par ex. \( \large 0 = 5 \), cela signifie que le système n’a pas de solution.
• Si l’on obtient quelque chose de trivial, par ex. \( \large 0 = 0 \), cela signifie que le système a une infinité de solutions.