Méthodes numériques

Les méthodes numériques sont utilisées pour trouver des solutions approximatives à des problèmes mathématiques lorsqu’aucune formule analytique simple n’existe. Elles jouent un rôle essentiel en mathématiques appliquées, en physique et en ingénierie, où les calculs exacts sont souvent impossibles ou très complexes.

 

Une méthode numérique consiste à remplacer un processus théorique infini par une approximation calculable exécutée sur un ordinateur. Cela permet de calculer des valeurs de fonctions, d’intégrales, de dérivées et d’équations différentielles à partir d’un ensemble de points de données connus ou d’une formule donnée.

 

 

Méthodes de recherche de racines

Les méthodes de recherche de racines sont employées pour trouver les points où une fonction vérifie \( \large f(x) = 0 \). En pratique, on utilise des procédures itératives qui s’approchent pas à pas de la valeur de la racine. Les plus connues sont la méthode de bissection, Newton-Raphson et la méthode de la sécantes.

 

 

Intégration numérique

Lorsqu’une intégrale ne peut pas être résolue symboliquement, elle peut être calculée en approximant l’aire sous la courbe. On divise alors l’intervalle en petites parties et on additionne les aires de figures simples qui approchent localement la courbe.

 

$$ \large \int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} A_i $$

 

Les méthodes les plus utilisées sont la règle du trapèze et la règle de Simpson, qui diffèrent dans la manière dont elles approximent la fonction entre les points donnés.

 

 

Dérivation numérique

Une fonction dérivée peut également être estimée à partir de points discrets.

On utilise des quotients différentiels, où deux ou plusieurs points voisins servent à calculer une valeur approchée de \( \large f'(x) \).

 

$$ \large f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

 

 

Équations différentielles numériques

Les équations différentielles peuvent rarement être résolues exactement, mais elles peuvent être approximées en calculant les valeurs de la fonction pas à pas. Les méthodes les plus simples, comme celle d’Euler et celle de Runge–Kutta, calculent la fonction en un point à partir de sa valeur et de sa pente connues au point précédent.

 

$$ \large y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) $$

 

Ces méthodes constituent la base de nombreuses simulations et calculs numériques lorsque qu’aucune formule exacte n’existe.