Dérivées des fonctions usuelles

La plupart des fonctions rencontrées en pratique ont des dérivées connues. En connaissant ces dérivées standards, on peut rapidement trouver la dérivée de fonctions plus complexes à l’aide des règles de dérivation. Cette section présente les types de fonctions les plus importants : polynômes, fonctions puissances, fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques.

 

 

Polynômes et fonctions puissances

La règle de la puissance est la base de presque tous les polynômes. Si

 

$$ \large f(x) = x^n $$

 

alors :

 

$$ \large f'(x) = n \cdot x^{n-1} $$

 

Exemples :

 

$$ \large (x^3)' = 3x^2 \qquad (x^{-2})' = -2x^{-3} \qquad (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

 

Si le polynôme comporte plusieurs termes, on dérive chaque terme séparément. Par exemple :

 

$$ \large f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 6x^2 - 10x + 3 $$

 

 

Fonctions exponentielles

Les fonctions exponentielles décrivent de nombreux processus naturels tels que la croissance, la décroissance et les intérêts composés. Pour la fonction exponentielle naturelle :

 

$$ \large (e^x)' = e^x $$

 

Cela signifie que \( \large e^x \) est sa propre dérivée — elle varie à la même vitesse que sa valeur actuelle. Pour une fonction exponentielle générale :

 

$$ \large (a^x)' = a^x \cdot \ln(a) $$

 

Exemple :

 

$$ \large (2^x)' = 2^x \cdot \ln(2) $$

 

Si l’exposant lui-même est une fonction, on utilise la règle de la chaîne. Par exemple :

 

$$ \large (e^{3x})' = 3e^{3x} \qquad (2^{x^2})' = 2^{x^2} \cdot \ln(2) \cdot 2x $$

 

 

Fonctions logarithmiques

La fonction logarithmique naturelle \( \large \ln(x) \) est l’inverse de \( \large e^x \). Sa dérivée est :

 

$$ \large (\ln x)' = \frac{1}{x} $$

 

Pour un logarithme avec une autre base \( \large a \) :

 

$$ \large (\log_a x)' = \frac{1}{x \cdot \ln(a)} $$

 

Exemple :

 

$$ \large (\log_{10} x)' = \frac{1}{x \cdot \ln(10)} $$

 

 

Fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques décrivent les angles et les mouvements circulaires. Leurs dérivées suivent un schéma fixe :

 

$$ \large (\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x \qquad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} $$

 

Exemples de fonctions composées :

 

$$ \large (\sin(2x))' = 2\cos(2x) \qquad (\cos(3x^2))' = -6x \sin(3x^2) $$

 

 

Fonctions combinées

En combinant ces dérivées standards avec les règles de dérivation, on peut traiter même des fonctions très complexes. Par exemple :

 

$$ \large f(x) = e^x \cdot \sin x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = e^x \cdot \sin x + e^x \cdot \cos x = e^x(\sin x + \cos x) $$

 

Ou avec un logarithme et une fonction puissance :

 

$$ \large f(x) = x^2 \ln x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 2x \ln x + x $$

 

 

Résumé

Tableau des dérivées les plus courantes :

 

Fonction	Dérivée
\( \large x^n \)	\( \large n \cdot x^{n-1} \)
\( \large e^x \)	\( \large e^x \)
\( \large a^x \)	\( \large a^x \cdot \ln(a) \)
\( \large \ln(x) \)	\( \large \frac{1}{x} \)
\( \large \sin(x) \)	\( \large \cos(x) \)
\( \large \cos(x) \)	\( \large -\sin(x) \)
\( \large \tan(x) \)	\( \large \frac{1}{\cos^2(x)} \)

 

 

Ces dérivées standards constituent la base de tout travail ultérieur en calcul différentiel. Elles sont utilisées pour déterminer les pentes, trouver les extrema, résoudre des problèmes d’optimisation et analyser les courbes. Une fois maîtrisées, la dérivation de fonctions complexes devient une routine.