Différentiabilité
Pour pouvoir dériver une fonction, celle-ci doit être différentiable. Cela signifie que la fonction possède une pente bien définie en chaque point. Toutes les fonctions ne remplissent pas cette condition — certaines présentent des discontinuités, des pointes ou des angles où la dérivée n’existe pas.
Quand une fonction est-elle différentiable
Une fonction \( \large f(x) \) est différentiable en un point \( \large x_0 \) si la dérivée y existe, c’est-à-dire si la limite
$$ \large f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$
donne le même résultat que l’on s’approche de la gauche ou de la droite. Si les pentes à gauche et à droite ne coïncident pas, il n’y a pas de tangente — et donc pas de dérivée.
Une fonction différentiable sur tout son domaine est dite lisse. Tous les polynômes et les fonctions exponentielles sont lisses, tandis que, par exemple, la fonction valeur absolue \( \large f(x) = |x| \) ne l’est pas, car elle présente un angle à l’origine.
Lien entre continuité et différentiabilité
Si une fonction est différentiable, elle est aussi continue — mais l’inverse n’est pas forcément vrai. Il est donc possible d’avoir une fonction assez régulière pour être tracée sans interruption, mais qui n’est pas différentiable partout. Un exemple classique est \( \large f(x) = |x| \) : elle est continue mais non différentiable en \( \large x = 0 \).
Règles de dérivation
Lorsqu’on cherche à calculer des dérivées, il est rarement nécessaire de revenir à la définition. On utilise plutôt un ensemble fixe de règles de dérivation qui rendent le calcul rapide et systématique. Ces règles s’appliquent à toutes les fonctions différentiables.
1. Règle de la constante
La dérivée d’une constante est toujours nulle :
$$ \large (k)' = 0 $$
Exemple : si \( \large f(x) = 7 \), alors \( \large f'(x) = 0 \).
2. Règle de la puissance
La règle la plus importante est la règle de la puissance :
$$ \large (x^n)' = n \cdot x^{n-1} $$
Exemple : \( \large (x^4)' = 4x^3 \) et \( \large (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
3. Règle du facteur constant
Un facteur constant peut être sorti du calcul de la dérivée :
$$ \large (k \cdot f(x))' = k \cdot f'(x) $$
Exemple : \( \large (3x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x \).
4. Règle de la somme et de la différence
La dérivée d’une somme (ou d’une différence) est la somme (ou la différence) des dérivées :
$$ \large (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) $$
Exemple : \( \large (x^3 + 5x)' = 3x^2 + 5 \).
5. Règle du produit
Lorsque deux fonctions sont multipliées, on dérive chacune à tour de rôle :
$$ \large (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) $$
Exemple : si \( \large f(x) = x^2 \) et \( \large g(x) = \sin x \), alors
$$ \large (x^2 \cdot \sin x)' = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x $$
6. Règle du quotient
Pour les fractions, une règle analogue s’applique :
$$ \large \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2} $$
Exemple : \( \large \left( \frac{x^2}{x+1} \right)' = \frac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2} \).
7. Règle de la chaîne
Lorsqu’une fonction est composée d’une autre, on utilise la règle de la chaîne :
$$ \large (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Exemple : \( \large (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot 3 = 3 \cdot \cos(3x) \).
Conséquences graphiques et pratiques
Les sept règles permettent de dériver la plupart des fonctions rencontrées en pratique. Elles montrent également que la dérivée n’est pas seulement un outil abstrait, mais un système capable de traiter même des relations complexes — des polynômes simples aux fonctions exponentielles et trigonométriques composées.
Exemple : fonctions combinées
Trouvez la dérivée de \( \large f(x) = (2x^2 + 3x) \cdot e^x \).
Ici, il faut utiliser à la fois la règle du produit et la règle de la somme :
$$ \large f'(x) = (4x + 3) \cdot e^x + (2x^2 + 3x) \cdot e^x = e^x \cdot (2x^2 + 7x + 3) $$
Cela montre qu’une fonction assez complexe peut être dérivée en combinant seulement quelques règles simples.
Résumé
Une fonction est différentiable si elle possède une tangente bien définie en chaque point. Une fois qu’elle est différentiable, les règles de dérivation permettent de trouver rapidement sa dérivée sans utiliser la définition par limite. Ces règles constituent la base de tout travail ultérieur en calcul différentiel.