Calcul différentiel

Le calcul différentiel est l’une des disciplines les plus fondamentales de l’analyse. Il étudie comment une grandeur varie et sert à décrire et à prédire les changements dans les systèmes physiques, biologiques et économiques.

 

Une idée centrale du calcul différentiel est de déterminer le taux de variation instantané d’une fonction — c’est-à-dire la vitesse à laquelle sa valeur change en un point précis. Cela s’exprime par la fonction dérivée, qui décrit la pente de la tangente touchant le graphe en ce point.

 

 

Lien avec la limite et la continuité

Pour parler de taux de variation, il faut examiner comment une fonction se comporte lorsque la variable d’entrée s’approche d’une certaine valeur. C’est là qu’intervient le concept de limite. De plus, une fonction doit être continue pour être dérivable, ce qui signifie que son graphe peut être tracé sans interruption ni saut.

 

$$ \large f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

 

Cette formule montre que le calcul différentiel est une extension naturelle du concept de limite : on calcule la pente comme la limite de la pente de la sécante lorsque deux points du graphe se rapprochent l’un de l’autre.

 

Dérivation

Dériver signifie déterminer la fonction dérivée \( \large f'(x) \), qui décrit la rapidité avec laquelle \( \large f(x) \) varie par rapport à \( \large x \). Si \( \large f(x) \) représente une distance, \( \large f'(x) \) représente la vitesse ; si \( \large f(x) \) représente une température, \( \large f'(x) \) montre le changement de température au fil du temps.

 

 

Contexte historique

Le calcul différentiel a été développé à la fin du XVII^e siècle par Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz. Tous deux ont formulé indépendamment les principes de ce que nous appelons aujourd’hui le calcul. Bien que leurs notations aient été différentes, ils décrivaient le même phénomène : la relation entre le mouvement, la vitesse et le changement.

 

 

Intuition : sécante, tangente et taux de variation

Imaginez le graphe d’une fonction \( \large f(x) \). Si l’on relie deux points du graphe par une droite, on obtient une sécante. La pente de la sécante indique le taux de variation moyen entre ces points. Lorsque les points se rapprochent, la sécante tend vers une droite qui touche le graphe en un seul point — la tangente.

 

La pente de cette tangente en un point s’appelle le taux de variation instantané et correspond exactement à la valeur que le calcul différentiel cherche à déterminer. Elle décrit comment la fonction varie précisément en ce point.