La lógica y el cálculo proposicional son la parte de las matemáticas que se ocupa de los enunciados, su valor de verdad y las reglas con las que se pueden combinar y manipular. Constituyen la base de todo razonamiento y demostración matemática.

La lógica en matemáticas se diferencia del uso cotidiano de la palabra lógica. En matemáticas trabajamos con reglas precisas para determinar cuándo un enunciado es verdadero o falso. Un enunciado es una afirmación que es verdadera o falsa. Todo el cálculo proposicional se construye sobre este principio sencillo.

 

 

Cálculo proposicional como sistema

Podemos combinar enunciados mediante conectores lógicos como y, o y no.

 

$$ \large p \land q \quad\; (\text{y}) $$

$$ \large p \lor q \quad\; (\text{o}) $$

$$ \large \lnot p \quad\; (\text{no}) $$

 

Cuando se combinan enunciados, podemos establecer reglas para el valor de verdad en todos los casos posibles. Estas reglas se recogen en tablas de verdad.

Aquí hay un ejemplo de una tabla de verdad para la conjunción \( \large p \land q \):

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \land q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & F \\ \hline \end{array} $$

 

Tambien podemos ampliar el lenguaje con cuantificadores, para hablar de todos los elementos de un conjunto o de la existencia de al menos un elemento. El cuantificador universal expresa para todo, mientras que el cuantificador existencial expresa existe:

 

$$ \large \forall x \in M : P(x) $$

$$ \large \exists x \in M : P(x) $$

 

 

Leyes lógicas

Los enunciados pueden reescribirse a menudo sin cambiar su valor de verdad. Esto se hace mediante leyes lógicas. Ejemplos son las leyes de De Morgan, la doble negación y la distributividad. Estas reglas permiten simplificar enunciados complejos y encontrar formulaciones alternativas.

 

 

Lógica en matemáticas

La lógica se usa directamente en las demostraciones matemáticas. Un ejemplo sencillo es la afirmación de que un número entero es par si y solo si puede escribirse como dos veces otro entero. Puede expresarse lógicamente:

 

$$ \large n \text{ es par } \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2 \cdot k $$

 

 

Estructura y resumen

En estudios posteriores se pueden examinar enunciados, conectores lógicos, tablas de verdad, cuantificadores y leyes lógicas con mayor detalle.