Las leyes lógicas son reglas que muestran cómo se pueden reescribir proposiciones sin cambiar su valor de verdad. Se utilizan para simplificar expresiones lógicas y para mostrar que dos expresiones diferentes en realidad significan lo mismo. Las leyes lógicas funcionan como reglas de cálculo en la lógica, de la misma manera que tenemos reglas de cálculo en la aritmética.

 

 

Símbolos

En lógica se usan diferentes símbolos para mostrar relaciones entre proposiciones:

 

• \( = \) significa igualdad ordinaria, como en aritmética: \( 2+2 = 4 \).
• \( \equiv \) significa equivalencia lógica: dos expresiones tienen siempre el mismo valor de verdad.
• \( \Rightarrow \) significa implicación: si una proposición es verdadera, la otra también debe serlo.

 

 

$$ \large \begin{array}{|l|l|} \hline \text{Ley} & \text{Equivalencia} \\ \hline \text{Leyes de identidad} & p \land \text{verdadero} \equiv p \\ & p \lor \text{falso} \equiv p \\ \hline \text{Leyes de complemento} & p \lor \lnot p \equiv \text{verdadero} \\ & p \land \lnot p \equiv \text{falso} \\ \hline \text{Leyes de De Morgan (proposiciones)} & \lnot (p \land q) \equiv \lnot p \lor \lnot q \\ & \lnot (p \lor q) \equiv \lnot p \land \lnot q \\ \hline \text{Leyes de De Morgan (cuantificadores)} & \lnot (\forall x : P(x)) \equiv \exists x : \lnot P(x) \\ & \lnot (\exists x : P(x)) \equiv \forall x : \lnot P(x) \\ \hline \text{Doble negación} & \lnot (\lnot p) \equiv p \\ \hline \text{Distributividad} & p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r) \\ & p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r) \\ \hline \text{Conmutatividad} & p \land q \equiv q \land p \\ & p \lor q \equiv q \lor p \\ \hline \text{Asociatividad} & (p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r) \\ & (p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r) \\ \hline \text{Idempotencia} & p \land p \equiv p \\ & p \lor p \equiv p \\ \hline \text{Absorción} & p \lor (p \land q) \equiv p \\ & p \land (p \lor q) \equiv p \\ \hline \end{array} $$

 

 

Leyes de identidad

Muestran que verdadero y falso actúan como elementos neutros para y y o respectivamente:

 

$$ \large p \land \text{verdadero} \equiv p \qquad p \lor \text{falso} \equiv p $$

 

Ejemplo:

"Llueve, y es verdadero" significa simplemente "llueve".

 

 

Leyes de complemento

Una proposición combinada con su negación siempre da verdadero o falso:

 

$$ \large p \lor \lnot p \equiv \text{verdadero} \qquad p \land \lnot p \equiv \text{falso} $$

 

Ejemplo:

"O bien llueve, o bien no llueve" es siempre verdadero.

 

 

Leyes de De Morgan

La negación se distribuye sobre y y o:

 

$$ \large \lnot (p \land q) \equiv (\lnot p) \lor (\lnot q) $$

$$ \large \lnot (p \lor q) \equiv (\lnot p) \land (\lnot q) $$

 

Ejemplo:

"No es cierto que sea lunes y que llueva" significa lo mismo que "o no es lunes, o no llueve".

 

Las leyes de De Morgan también se aplican a los cuantificadores:

 

$$ \large \lnot (\forall x : P(x)) \equiv \exists x : \lnot P(x) $$

$$ \large \lnot (\exists x : P(x)) \equiv \forall x : \lnot P(x) $$

 

 

Doble negación

Negar una proposición dos veces devuelve la proposición misma:

 

$$ \large \lnot (\lnot p) \equiv p $$

 

Ejemplo:

"No es cierto que 7 no sea primo" significa "7 es primo".

 

 

Distributividad

La conjunción y la disyunción pueden distribuirse una sobre la otra:

 

$$ \large p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r) $$

$$ \large p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r) $$

 

Ejemplo:

"Compro leche, y pan o queso" equivale a "compro leche y pan, o leche y queso".

 

 

Conmutatividad

El orden de las proposiciones no importa con y y o:

 

$$ \large p \land q \equiv q \land p \qquad p \lor q \equiv q \lor p $$

 

Ejemplo:

"Llueve, y hace viento" significa lo mismo que "hace viento, y llueve".

 

 

Asociatividad

La colocación de los paréntesis no importa cuando se conectan varias proposiciones con el mismo operador:

 

$$ \large (p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r) $$

$$ \large (p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r) $$

 

Ejemplo:

"((llueve y hace viento) y hace frío)" es lo mismo que "(llueve y (hace viento y hace frío))".

 

 

Idempotencia

Repetir la misma proposición con y u o no añade nuevo contenido:

 

$$ \large p \land p \equiv p \qquad p \lor p \equiv p $$

 

Ejemplo:

"Llueve y llueve" significa simplemente "llueve".

 

 

Absorción

Las combinaciones de proposiciones pueden a menudo reducirse a una sola:

 

$$ \large p \lor (p \land q) \equiv p $$

$$ \large p \land (p \lor q) \equiv p $$

 

Ejemplo:

"Llueve, o llueve y hace viento" significa simplemente "llueve".

 

 

Resumen

Las leyes lógicas permiten reescribir y simplificar expresiones lógicas sin cambiar su significado. En conjunto forman un conjunto de reglas similar a las reglas de cálculo del álgebra. Se usan tanto para simplificar expresiones, para demostrar relaciones lógicas, como en aplicaciones como la informática y el álgebra booleana.