Las conectivas lógicas se usan para combinar proposiciones y formar nuevas proposiciones. Describen cómo el valor de verdad de la proposición compuesta depende de las proposiciones individuales. Las conectivas lógicas más importantes son la negación, la conjunción, la disyunción, la implicación y la equivalencia.

 

 

Negación

La negación de una proposición expresa que ocurre lo contrario. Si \( \large p \) es una proposición, la negación se escribe \( \large \lnot p \) y se lee "no p".

 

Ejemplos:

 

• Si \( \large p \) es "2 es un número par", entonces \( \large \lnot p \) es la proposición "2 no es un número par".
• Si \( \large p \) es "El sol brilla", entonces \( \large \lnot p \) es la proposición "El sol no brilla".

 

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline p & \lnot p \\ \hline V & F \\ F & V \\ \hline \end{array} $$

 

 

Conjunción (y)

La conjunción de dos proposiciones es verdadera cuando ambas son verdaderas. Si \( \large p \) y \( \large q \) son proposiciones, la conjunción se escribe \( \large p \land q \).

 

Ejemplos:

 

• Si \( \large p \) es "2 es un número par" y \( \large q \) es "2 es mayor que 1", entonces \( \large p \land q \) es verdadera.
• Si \( \large p \) es "5 es un número primo" y \( \large q \) es "5 es un número par", entonces \( \large p \land q \) es falsa, porque solo la primera proposición es verdadera.

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \land q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & F \\ \hline \end{array} $$

 

 

Disyunción (o)

La disyunción de dos proposiciones es verdadera cuando al menos una de ellas es verdadera. Si \( \large p \) y \( \large q \) son proposiciones, la disyunción se escribe \( \large p \lor q \).

 

Nota: En matemáticas, "o" casi siempre significa "o inclusivo", es decir, también es verdadera si ambas proposiciones lo son.

 

Ejemplos:

 

• Si \( \large p \) es "2 es un número par" y \( \large q \) es "2 es mayor que 10", entonces \( \large p \lor q \) es verdadera, porque al menos una proposición lo es.
• Si \( \large p \) es "5 es un número primo" y \( \large q \) es "5 es un número par", entonces \( \large p \lor q \) es verdadera, porque \( \large p \) es verdadera.
• Solo cuando ambas proposiciones son falsas, la disyunción es falsa.

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \lor q \\ \hline V & V & V \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \\ \hline \end{array} $$

 

En el lenguaje cotidiano, "o" suele usarse como "o exclusivo" (una u otra, pero no ambas). En matemáticas se puede escribir como una operación especial: \( \large p \oplus q \). Esta es verdadera exactamente cuando una proposición es verdadera, pero no ambas.

 

 

Implicación (si … entonces …)

La implicación expresa una relación condicional. Si \( \large p \) y \( \large q \) son proposiciones, se escribe \( \large p \Rightarrow q \) y se lee "si p, entonces q".

 

La implicación solo es falsa cuando la premisa \( \large p \) es verdadera y la conclusión \( \large q \) es falsa. En todos los demás casos se considera verdadera.

 

Ejemplos:

 

• Si \( \large p \) es "un número es divisible por 4" y \( \large q \) es "el número es divisible por 2", entonces \( \large p \Rightarrow q \) es verdadera, porque todos los números divisibles por 4 también lo son por 2.
• Si \( \large p \) es "7 es un número par" y \( \large q \) es "10 es un número par", entonces \( \large p \Rightarrow q \) es verdadera, porque la premisa es falsa – sin importar la conclusión.

 

Esto puede parecer contraintuitivo en el lenguaje cotidiano, pero en matemáticas es práctico: una implicación con premisa falsa se considera verdadera, porque la afirmación "si … entonces …" no queda refutada.

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \Rightarrow q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & V \\ \hline \end{array} $$

 

 

Equivalencia (si y solo si)

La equivalencia expresa que dos proposiciones siempre tienen el mismo valor de verdad. Si \( \large p \) y \( \large q \) son proposiciones, se escribe \( \large p \Leftrightarrow q \).

 

Ejemplos:

 

• "Un número es par si y solo si puede escribirse como \( \large 2 \cdot k \) para un número entero \( \large k \)".
• "Un triángulo es equilátero si y solo si todos sus lados son iguales".

 

La equivalencia es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas son falsas, y falsa cuando tienen valores de verdad distintos.

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \Leftrightarrow q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & V \\ \hline \end{array} $$

 

 

Resumen

Las conectivas lógicas más importantes son:

 

• Negación: \( \lnot p \) — verdadera si \( p \) es falsa
• Conjunción: \( p \land q \) — verdadera solo si ambas son verdaderas
• Disyunción: \( p \lor q \) — verdadera si al menos una es verdadera
• Implicación: \( p \Rightarrow q \) — falsa solo cuando p es verdadera y q es falsa
• Equivalencia: \( p \Leftrightarrow q \) — verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \lnot p & p \land q & p \lor q & p \Rightarrow q & p \Leftrightarrow q \\ \hline V & V & F & V & V & V & V \\ V & F & F & F & V & F & F \\ F & V & V & F & V & V & F \\ F & F & V & F & F & V & V \\ \hline \end{array} $$