Inducción
La inducción es un método para demostrar enunciados que valen para todos los números naturales.
La idea es mostrar que si un enunciado vale para el primer número, y si vale para un número arbitrario \( \large k \), entonces también debe valer para \( \large k+1 \). De esta manera, se demuestra que el enunciado es cierto para todo \( \large n \).
La inducción funciona como una fila de fichas de dominó: Si la primera cae (el paso base), y cada ficha hace caer a la siguiente (el paso inductivo), entonces todas las fichas de la fila caerán.
Procedimiento
Una demostración por inducción suele constar de tres pasos:
1. Base: Mostrar que el enunciado vale para el primer número natural, normalmente \( \large n=1 \).
2. Hipótesis de inducción: Suponer que el enunciado vale para un \( \large n=k \) arbitrario.
3. Paso inductivo: Usar la suposición para mostrar que el enunciado también vale para \( \large n=k+1 \).
Ejemplo 1
Queremos demostrar por inducción que la suma de los primeros \( \large n \) números naturales es
$$ \large 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} $$
Base:
Para \( \large n=1 \) obtenemos \( \large 1 = \frac{1 \cdot (1+1)}{2} = 1 \). El enunciado es verdadero.
Hipótesis de inducción:
Supongamos que el enunciado vale para \( \large n=k \):
$$ \large 1 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2} $$
Paso inductivo:
Para \( \large n=k+1 \) obtenemos:
$$ \large 1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) $$
$$ \large = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2} $$
Que es la misma fórmula con \( \large n=k+1 \). Por lo tanto, el enunciado queda demostrado para todo \( \large n \).
Ejemplo 2
Queremos demostrar por inducción que \( \large 5^n - 2^n \) siempre es divisible por 3 para todo \( \large n \in \mathbb{N} \).
Base:
Para \( \large n=1 \) obtenemos \( \large 5^1 - 2^1 = 3 \), que es divisible por 3.
Hipótesis de inducción:
Supongamos que el enunciado vale para \( \large n=k \):
$$ \large 5^k - 2^k = 3m $$
para algún número entero \( \large m \).
Paso inductivo:
Para \( \large n=k+1 \) comenzamos reescribiendo las potencias:
$$ \large 5^{k+1} - 2^{k+1} = 5 \cdot 5^k - 2 \cdot 2^k $$
Ahora queremos reunir un término con \( \large (5^k - 2^k) \). Por eso reescribimos \( \large -2 \cdot 2^k \) como \( \large -5 \cdot 2^k + 3 \cdot 2^k \). Entonces obtenemos:
$$ \large 5 \cdot 5^k - 2 \cdot 2^k = 5 \cdot 5^k - 5 \cdot 2^k + 3 \cdot 2^k $$
Ahora los dos primeros términos pueden agruparse en un paréntesis:
$$ \large = (5^k - 2^k)\cdot 5 + 3 \cdot 2^k $$
Por la hipótesis de inducción, \( \large 5^k - 2^k \) es divisible por 3, y \( \large 3 \cdot 2^k \) también es claramente divisible por 3. Por lo tanto, toda la expresión es divisible por 3, y el enunciado queda demostrado para \( \large n=k+1 \).
Las demostraciones por inducción son una herramienta central en las matemáticas. Se utilizan para demostrar fórmulas, propiedades de sucesiones, divisibilidad y mucho más.
El método muestra cómo un enunciado puede ser válido para infinitos números conectando cada paso de la secuencia lógicamente con el siguiente.